אינפימום וסופרמום

אִינְפִימוּם וסוּפְּרִמוּם (לפעמים נקראים חסם תחתון וחסם עליון) הם מושגי יסוד באנליזה מתמטית. אינפימום הוא החסם מלרע (מלמטה) הגדול ביותר של קבוצה נתונה. סופרמום הוא החסם מלעיל (מלמעלה) הקטן ביותר של הקבוצה. אם $a$ הוא האינפימום של A נסמן $\inf(A)=a$. באופן דומה אם $a$ הוא הסופרמום של הקבוצה $A$ נסמן $\sup(A)=a$.

איברי הקבוצה M (בכחול) חסומים מלעיל על ידי הנקודות החומות והנקודה הירוקה. הנקודה הירוקה היא החסם הקטן ביותר ולכן היא הסופרמום

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

הגדרה פורמלית

• חסם מלעיל $\ x$ של $\ A$ ייקרא חסם עליון (סוּפְּרִמוּם) של $\ A$ אם לכל חסם מלעיל $\ y$ של $\ A$ מתקיים $\ x\leq y$.

נהוג לסמן את החסם העליון של $\ A$ ב-$\sup A$.

אם $x\in A$ אז $\ x$ יקרא המקסימום של A ומסמנים $x=\max A$.

• חסם מלרע $\ x$ של $\ A$ ייקרא חסם תחתון (אִינְפִימוּם) של $\ A$ אם לכל חסם מלרע $\ y$ של $\ A$ מתקיים $\ y\leq x$.

נהוג לסמן את החסם התחתון של $\ A$ ב-$\inf A$.

אם $x\in A$ אז $\ x$ יקרא המינימום של A ומסמנים $x=\min A$.

מאפיינים

המושגים אינפימום וסופרמום דומים במידת מה למקסימום ומינימום. האינפימום עשוי להיות גם מינימום – אם ורק אם הוא שייך לקבוצה. באופן דומה, נאמר על סופרמום שהוא מקסימום אם ורק אם הוא שייך לקבוצה. אם לקבוצה A יש מקסימום אז הוא בהכרח סופרמום ואם לקבוצה יש מינימום אז הוא בהכרח אינפימום.

באנליזה אינפימום וסופרמום שימושיים יותר מאשר מינימום ומקסימום. כך למשל בקבוצת המספרים הממשיים החיוביים ($\mathbb {R} _{>0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\}$) אין מינימום. זאת משום שניתן לחלק כל מספר בקבוצה במספר טבעי ובכך למצוא מספר ממשי קטן יותר אשר שייך לקבוצה. אף על פי כן קיים בדיוק אינפימום אחד והוא אפס. אפס קטן מכל מספרים הממשיים החיוביים וגדול יותר מכל מספר ממשי אשר יכול לשמש כגבול התחתון.

על פי אקסיומת השלמות, לכל קבוצת מספרים ממשיים החסומה מלמעלה ואינה ריקה קיים סופרמום. מאקסיומה זו נובע גם כי לכל קבוצת מספרים ממשיים החסומה מלמטה ואינה ריקה קיים אינפימום. לפיכך לא לכל קבוצה יש בהכרח אינפימום או סופרמום. לדוגמה, קבוצת המספרים הממשיים לא חסומה מלעיל ולא חסומה מלרע ולכן בפרט אין לה אינפימום או סופרמום.

דוגמאות

אינפימום

• $\inf\{1,2,3,\ldots \}=1$
• $\inf\{x\in \mathbb {R} \mid 0<x<1\}=0$
• $\inf\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{3}>2\}={\sqrt[{3}]{2}}$
• $\inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}\mid n=1,2,3,\ldots \right\}=-1$

סופרמום

• $\sup\{x\in \mathbb {R} \mid 0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} \mid 0\leq x\leq 1\}=1$
• $\sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}\mid n=1,2,3,\ldots \right\}=1$
• $\sup\{a+b\mid a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B$
• $\sup\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}={\sqrt {2}}$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אינפימום וסופרמום בוויקישיתוף

• ד"ר אביב צנזור, 04 - סופרמום ואינפימום, בערוץ היוטיוב של הטכניון, ‏12 באוקטובר 2015