אי-שוויון צ'בישב

בתורת ההסתברות, אי-שוויון צֶ'בּישב (גם: צ'בישוֹב) הוא אי-שוויון המאפשר להעריך את ההתפלגות של משתנים מקריים על ידי התוחלת שלהם. האי-שוויון קרוי על שמו של ממציאו, המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב.

אי-שוויון צ'בישב קובע כי אם השונות והתוחלת של משתנה מקרי $\ X$ קיימות, אז לכל $\ C>0$ מתקיים:

$\operatorname {P} (|X-\operatorname {E} (X)|\geq C)\leq {\operatorname {Var} (X) \over C^{2}}$

אי-שוויון צ'בישב מאפשר להעריך את ההסתברות לכך שמשתנה מקרי כלשהו יסטה במידה זו או אחרת מהתוחלת שלו, באופן מדויק יותר מאי-שוויון מרקוב, ונותן משמעות נוספת למושג השונות. בפרט נובע ממנו שכאשר השונות קטנה, ההסתברות לסטיות גדולות מהתוחלת קטנה גם היא. בעזרת אי-שוויון צ'בישב אפשר להוכיח את החוק החלש של המספרים הגדולים למקרה הפרטי שבו לסדרת המשתנים המקריים יש שונות סופית. אי-שוויון צ'רנוף נותן גרסה חזקה יותר עבור משתני ברנולי.

בגרסה כללית יותר, אי-שוויון צ'בישב קובע כי $\operatorname {P} (|X|\geq C)\leq {\operatorname {E} (X^{2}) \over C^{2}}$. אי-שוויון קאנטלי הוא גרסה חד צדדית של אי-שוויון צ'בישב.

הוכחת אי-שוויון צ'בישב

על פי הגדרת התוחלת:

$\operatorname {E} (f^{2})=\int _{\Omega }f^{2}(\omega )\,dP(\omega )$.

עבור אינטגרציה רק על קבוצת הנקודות במרחב ההסתברות עבורן $|f(\omega )|\geq C$ יתקבל גודל הקטן יותר או שווה לזה שהתחלנו ממנו:

$\operatorname {E} (f^{2})=\int _{\Omega }f^{2}(\omega )\,dP(\omega )\geq \int _{\{\omega :|f(\omega )|\geq C\}}f^{2}(\omega )\,dP(\omega )\geq \int _{\{\omega :|f(\omega )|\geq C\}}C^{2}\,dP(\omega )=C^{2}\operatorname {P} (|f|\geq C)$

חלוקת שני האגפים ב־$C^{2}$ מביאה לצורה הכללית של אי-שוויון צ'בישב:

$\operatorname {P} (|f|\geq C)\leq {\operatorname {E} (f^{2}) \over C^{2}}$

ניתן גם להוכיח את אי-שוויון צ'בישב ישירות מאי-שוויון מרקוב.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אי-שוויון צ'בישב בוויקישיתוף

• אי-שוויון צ'בישב, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• אי-שוויון צ'בישב, באתר MathWorld (באנגלית)