אי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות

בתורת המשחקים, אי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות היא תכונה שניתן לדרוש מפונקציית רווחה חברתית.

התכונה אומרת שאם בין מועמדים א' ו-ב' אף בוחר לא שינה את העדפתו (מעדיף את א' על ב' או להפך), גם התוצאה בין א' ל-ב' לא תשתנה, גם אם בוחרים שינו את שאר ההעדפות שלהם.

דרישה זו נראית לכאורה תמימה והגיונית, אך משפט ארו מראה שעבור יותר משני מועמדים, אין שיטת בחירות יעילה פארטו שמקיימת אותה, מלבד דיקטטורה.

הגדרה פורמלית

פונקציית רווחה חברתית F, על קבוצת מועמדים A וקבוצת בוחרים N, מקיימת את תכונת האי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות,
אם לכל $a,b\in A$ , ולכל שני וקטורי-העדפות P,Q,
שמקיימים $\forall i\in N,(a\succ _{P_{i}}b)\leftrightarrow (a\succ _{Q_{i}}b)$ ^[1]
מתקיים $(a\succeq _{F(P)}b)\leftrightarrow (a\succeq _{F(Q)}b)$ .

דוגמאות

דיקטטורה מקיימת אי-תלות, מכיוון שאם אף בוחר לא שינה את העדפותיו בין א' ל-ב', אז בפרט הדיקטטור לא שינה את העדפותיו ביניהם.
עבור $\left|A\right|=2$ ^[2], כל פונקציית רווחה חברתית מקיימת את תכונת האי-תלות, כי אם לא השתנו ההעדפות בין א' ל-ב', ההעדפות כלל לא השתנו.
עבור $\left|A\right|\geq 3$ , שיטת בורדה^[3] מקיימת את תכונת הפה-אחד, אך לא מקיימת את תכונת האי-תלות, למשל עבור וקטורי-ההעדפות הבאים:

בוחר	מקום ראשון	מקום שני	מקום שלישי
רונן	a	b	c
זרובבלה	b	c	a
תוצאה	b	a	c

בוחר	מקום ראשון	מקום שני	מקום שלישי
רונן	a	c	b
זרובבלה	b	a	c
תוצאה	a	b	c

היחסים בין a ל-b לא השתנו אצל כל בוחר, אבל היחסים ביניהם בתוצאה הסופית השתנו.

הדוגמה הקודמת היא מקרה פרטי של משפט ארו, שאומר שכל פונקציית רווחה חברתית, שמקיימת את תכונת הפה אחד ואת תכונת האי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות, היא דיקטטורה.

ראו גם

מונוטוניות

לקריאה נוספת

שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946

הערות שוליים

^ הסימון $a\succ b$ אומר "a עדיף על b", הסימון $a\succeq b$ אומר "a עדיף על b, או שאף אחד מהם לא עדיף על השני".
^ A היא קבוצת המועמדים. הסימון $\left|A\right|$ אומר "גודלה של A".
^ כל בוחר נותן לכל מועמד נקודות, באופן הפוך למיקום היחסי שלו: למשל עבור שלושה מועמדים, מקום ראשון מקבל 2 נקודות, מקום שני נקודה אחת ומקום שלישי 0 נקודות. הניקוד הכללי של כל מועמד נקבע לפי סכום הנקודות שקיבל.

[1] הסימון $a\succ b$ אומר "a עדיף על b", הסימון $a\succeq b$ אומר "a עדיף על b, או שאף אחד מהם לא עדיף על השני".

[2] A היא קבוצת המועמדים. הסימון $\left|A\right|$ אומר "גודלה של A".

[3] כל בוחר נותן לכל מועמד נקודות, באופן הפוך למיקום היחסי שלו: למשל עבור שלושה מועמדים, מקום ראשון מקבל 2 נקודות, מקום שני נקודה אחת ומקום שלישי 0 נקודות. הניקוד הכללי של כל מועמד נקבע לפי סכום הנקודות שקיבל.

[1]

[2]

[3]