אקסיומת הקבוצה האינסופית

אקסיומת הקבוצה האינסופית (או אקסיומת האינסוף) היא אחת האקסיומות של תורת הקבוצות האקסיומטית. לפי אקסיומה זו, קיימת קבוצה אינסופית, ובפרט, קיימת קבוצה כזו שכוללת את המספרים הטבעיים (על פי הבנייה של פרגה).

ניסוח

קיימות מספר דרכים לנסח את האקסיומה, אולם הפשוטה והמקובלת ביותר מביניהן אשר איננה עושה שימוש בהגדרתם של מספרים סודרים היא זאת:

קיימת קבוצה $\ A$ כך שמתקיים $\emptyset \in A$, ולכל $\ a\in A$ מתקיים $\ S(a)\in A$, כאשר $S(a)=a\cup \{a\}$. כלומר, $\ \exists A\left[\emptyset \in A\land \forall a\left(a\in A\to S(a)\in A\right)\right]$.

הקבוצה $\ A$ כוללת את המספרים הטבעיים, משום שעל פי הבנייה של פרגה, אפס מוגדר בתור הקבוצה הריקה, ופונקציית העוקב מוגדרת בתור הפונקציה $\ S$.

עצמאות

אקסיומת האינסוף עצמאית ביחס לשאר אקסיומות ZFC, בהנחה שהיא עקבית.

ניתן לבנות מתוך ZFC מודל שמקיים את כל האקסיומות חוץ מאקסיומת האינסוף - זה יהיה אוסף כל הקבוצות הסופיות תורשתית - $V_{\omega }$ בסימון של יקום פון-נוימן. אוסף זה מורכב מכל הקבוצות הסופיות שכל איבריהן הן קבוצות סופיות תורשתית (הגדרה זו איננה מעגלית, לפי אקסיומת היסוד). קל לראות שמודל זה מקיים את כל האקסיומות של ZFC למעט אקסיומת האינסוף.

אקסיומת האינסוף מבטיחה את קיום המונה האינסופי הראשון ₀א (אָלֶף אֶפֶס). כמו שהערנו, אוסף כל הקבוצות שמתחתיו (במובן של הדרגה שלהן ביקום פון-נוימן) הוא מודל ל-ZFC כאשר אנחנו מחליפים את אקסיומת האינסוף בשלילתה. מהבחינה הזו, ₀א מתנהג כמו מונה גדול ולכן יש מתמטיקאים שמתייחסים לאקסיומות שעוסקות בקיום מונים גדולים כחיזוקים של אקסיומת האינסוף.

קישורים חיצוניים

• אקסיומת הקבוצה האינסופית, באתר MathWorld (באנגלית)