בעיה מתמטית
בעיה מתמטית היא שאלה שניתן לייצגה, לנתח אותה, ואולי גם לפתור אותה בעזרת הכלים של המתמטיקה. זו יכולה להיות שאלה מעשית, כגון מהם מסלוליהם של כוכבי הלכת במערכת השמש, או שאלה מופשטת, כגון הבעיות של הילברט.
שאלות על מציאות חומרית הופכות לבעיות מתמטיות בעזרת מודל מתמטי של נושא המחקר, דבר הכרוך בדרך כלל בהפשטה שלו. למשל על מנת להפוך את השאלה "מהם מסלוליהם של כוכבי הלכת" לבעיה מתמטית בת פתרון נוח להתייחס אל כוכבי הלכת כאל כדורים או נקודות במרחב. הדבר כרוך בהפשטה כי כוכבי הלכת אינם תואמים את התכונות המתמטיות של כדור ונקודה. לאחר שרטוט מסלולם הנצפה של כוכבי הלכת כעקומה במישור או במרחב ניתן להסיק מהעקומה מידע על מסלולם של כוכבי הלכת.
בעיות מתמטיות מופשטות הן שאלות בכל תחומי המתמטיקה. בדרך כלל מתמטיקאים מעלים שאלות על נושאים מתמטיים ומנסים לפתור אותן באמצעות הטכניקות המתמטיות. המטרה של המתמטיקאים היא לרוב הרחבת הידע על הנושאים הנחקרים. שאלות מתמטיות הן כלי מרכזי בהוראת המתמטיקה כאשר לרוב המורה או מחבר ספר הלימוד יוצר שאלה מתמטית ועל התלמיד לפותרה באמצעות הכלים המתמטיים שנלמדו. בדרך כלל בעיות מתמטיות שכאלה נקראות שאלות או תרגילים והמונח "בעיה מתמטית" שמור לשאלות שמתמטיקאים התקשו לפותרן.
בעיות לא פתורות
עריכהישנן לא מעט בעיות מתמטיות שהוגדרו אך טרם נפתרו. למשל, ברשימת 23 הבעיות של הילברט ישנן 15 שלא נפתרו כלל או נפתרו רק בצורה חלקית. רשימת מפורסמת אחרת של בעיות פתוחות היא רשימת בעיות לנדאו.
במשפט האי-שלמות הראשון הראה קורט גדל שכל מערכת אקסיומות אפקטיבית ועשירה מספיק (כזו המכילה חלק מספיק גדול מאקסיומות האריתמטיקה) שהיא עקבית, היא בהכרח לא שלמה, משמע שקיימות טענות שלא ניתנות להכרעה, כלומר שלא ניתן להוכיחן או להפריכן באמצעות מערכת האקסיומות.
קישורים חיצוניים
עריכה
- בעיה מתמטית, באתר MathWorld (באנגלית)
