גאומטריה

ענף במתמטיקה
המונח "גאומטרי" מפנה לכאן. לערך העוסק בחברת כלי רכב סינית, ראו ג'אומטרי.

גאומטריה (בכתיב תקין: גאומטרייה; מיוונית עתיקהγεωμετρία. ‏γεω – "אדמה" או "קרקע"; μέτρον – "מדידה") היא ענף של המתמטיקה העוסק בצורות ובמבנים, ובהם הישויות: נקודות, קווים ישרים, עקומות, משטחים, מעגלים ופאונים. הגאומטריה עוסקת בהוכחת טענות לגבי הישויות בעזרת משפטים, המתבססים על אקסיומות. דוגמה למשפטים גאומטריים – משפטי חפיפה. דוגמאות לאקסיומות מופיעות בערך נקודה. המבנים היסודיים של הגאומטריה (בדרך כלל, נקודה, ישר, מישור, ולעיתים גם הזווית והמרחק) מתוארים באמצעות האקסיומות שהם מקיימים. גישה כזו אינה מסתפקת בתיאור שיטות ואבחנות גאומטריות, אלא מתארת במפורש את הנחות היסוד (האקסיומות), וגוזרת מהן בדרך של הוכחה את המשפטים המתייחסים לאותם מבנים.

"אלוהים הגאומטריקן", איור לכתב־יד צרפתי מהמאה ה-13

היסטוריה

עריכה
 
איורי גופים גאומטריים, מתוך ציקלופדיית צ'יימברס

גאומטריה היא מענפי המתמטיקה העתיקים ביותר. הגאומטריה התחילה להתפתח במזרח אסיה ובמצרים העתיקה. היוונים הקדמונים עסקו בה בהרחבה והביאו אותה לכדי מיצוי. הבסיס והמבוא השיטתי לה, מופיע בספריו של אוקלידס "יסודות".

המילה "גאומטריה" באה מלשון גאיה – אלת האדמה במיתולוגיה היוונית ומטריה – מדידה. מקור זה מעיד על שורשיה המעשיים של הגאומטריה – מדידת חלקות אדמה, אך כבר היוונים הקדמונים הפכו את הגאומטריה למדע עיוני העומד בפני עצמו, שאינו זקוק לתמריצים חיצוניים. המחשת המשמעות העיונית המנותקת מצרכים מעשיים של הגאומטריה, ניתנת – למשל – בבעיות בנייה בסרגל ובמחוגה בלבד.

התיאור הראשון של הגאומטריה שבו נעשה מאמץ לדייק בניסוחים ולהניח תשתית אקסיומטית הוא סדרת הספרים (מגילות) "יסודות" המיוחס לאוקלידס, במאה השלישית לפני הספירה (להרחבה בנושא זה, ראו גאומטריה אוקלידית). יצירתו של אוקלידס הציבה רף גבוה של קפדנות מתמטית, ובמשך יותר מאלפיים שנה שימשה כסנטדרט בלתי מעורער הן לתיאור המרחב הפיזיקלי והן ללימוד ענף הגאומטריה, ואף מהווה השראה לספרי גאומטריה עד היום. במשך השנים נעשו ניסיונות רבים להוכיח את אקסיומת המקבילים מתוך האקסיומות האחרות. ניסיונות אלה נכשלו כולם, עד השליש הראשון של המאה ה-19, שבו הובילו לפיתוח הגאומטריות הלא-אוקלידיות.

בסוף המאה ה-19, במקביל לייסוד תורת הקבוצות, הוברר שהמערכת של אוקלידס אינה עומדת בסטנדרטים המודרניים. לדוגמה, הוא מתייחס למושגים כמו חפיפה או השוואה של זוויות כמושגים "טבעיים", והאקסיומות שלו אינן מפרטות את תכונותיהם. בפרט, גישה זו אינה מספיקה לתיאור הגאומטריה האוקלידית כשפה מסדר ראשון.

כמענה לבעיה זו, פיתח הילברט מערכת אקסיומטית חלופית, מערכת האקסיומות של הילברט שבה עשרים אקסיומות. כבר מאז עבודתו של דקארט היה ברור שאפשר לבסס את הגאומטריה על בניות אנליטיות כמו הישר הממשי ומערכת הצירים הקרטזית. הבנה זו התחזקה אחרי שהאנליזה עצמה נוסחה במונחי תורת הקבוצות האקסיומטית. היום משתמשים בגישה אקסיומטית כדי לתאר גאומטריות חלופיות, למשל גאומטריה פרויקטיבית סופית והגאומטריה של בניינים. אף על פי שבגאומטריה האוקלידית נוח יותר לטפל בדרכים אחרות, מקומן של האקסיומות של אוקלידס כאבן פינה בהתפתחות המתמטיקה, מובטח לדורות.

כמו כן, התפתחה במאה ה-19 גאומטריה דיפרנציאלית, ועליה התבססה מאוחר יותר תורת היחסות של אלברט איינשטיין.

התפתחות נוספת בגאומטריה המודרנית היא פיתוחה של הגאומטריה הלא-קומוטטיבית. מכיוון שמבנים גאומטריים רבים ניתנים לתיאור אלגברי כמבנים קומוטטיבים, הרי שפעמים רבות ניתן לראות במבנים אלגבריים לא קומוטטיבים הכללה גאומטרית של המבנים הקומוטטיבים ובכך לקבל גם להם תמונה גאומטרית. לדוגמה: מאחר שמרחב הפונקציות הרציפות המתאפסות באינסוף על מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית מהווה אלגברת סי כוכב קומוטטיבית, ומאחר שניתן להראות (משפט הייצוג של גלפנד) שכל אלגברת סי כוכב קומוטטיבית היא מהצורה הזו, הרי שניתן לראות באלגברת סי כוכב לא-קומוטטיבית כמודל למושג המופשט מרחב טופולוגי לא-קומוטטיבי.

החיבור הראשון בשפה העברית שעסק בגאומטריה באופן שיטתי הוא ספרו של אברהם בר חייא, שחי במאות ה-11 וה-12 בספרד, "חיבור המשיחה והתשבורת". במבוא לספרו מסביר בר חייא שהגאומטריה חיונית לחישוב מדויק של שטחי קרקעות המאפשר חלוקה הוגנת של קרקעות המתחייבת ממצוות התורה.

ראו גם

עריכה

לקריאה נוספת

עריכה
  • Marvin J. Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 4th edition, W. H. Freeman, 2008

קישורים חיצוניים

עריכה