אי-שוויון (מתמטיקה)

אי-שוויון הוא שם משותף לשני סוגי טענות במתמטיקה. הטענה הראשונה היא ששני ערכים a ו־b שונים זה מזה, שאותה מסמנים $\ a\neq b$. הטענה השנייה היא שאחד מן הערכים גדול מהשני, שאותה מסמנים $\ a<b$ או $\ b>a$, טענה זו נקראת אי-שוויון חזק. הטענה שאחד הערכים גדול או שווה לשני, שאותה מסמנים $\,a\leq b$ או $\,b\geq a$, נקראת אי-שוויון חלש.

פעולות באי-שוויונות

יחס הסדר על הישר הממשי הוא ליניארי, כלומר, מבין כל שני מספרים שונים, אחד מוכרח להיות גדול מן השני. תכונה זו מאפשרת לשאול, בהינתן שני מספרים (או "תבניות מספר" - ערכים התלויים במשתנה אחד או יותר) a,b, איזה יחס הוא הנכון: $\ a<b$, $\ a=b$ או $\ a>b$. בפרט, כל מספר ממשי אפשר להשוות לאפס - וכך מתקבלת החלוקה למספרים חיוביים, או בעלי "סימן חיובי" (אלו הגדולים מאפס) ושליליים, או בעלי "סימן שלילי" (אלו הקטנים מאפס).

משוואות כמו $\ 2x+4y=6,x-5y=0$ אפשר לחבר, לחסר ולהכפיל (כל אגף בנפרד), והתוצאה המתקבלת היא משוואה חדשה. באי-שוויונות, הפעולות המותרות הבסיסיות הן כדלקמן:

1. אם $\ a<b$ אז לכל c, $\ a+c<b+c$;
2. אם $\ a<b$ ו-$\ d$ חיובי, אז גם $\ ad<bd$; אם $\ d$ שלילי, אז $\ ad>bd$;
3. אם $\ 0<a<b$, אז גם $\ a^{2}<b^{2}$.

החוק השני מקנה לאיבר האפס מעמד מיוחד. כפי שהכפל באיבר חיובי שומר על כיוון האי-שוויון, כפל באיבר שלילי תמיד הופך אותו. (בפתרון של אי-שוויונות קורה שמכפילים בגודל שהסימן שלו אינו ידוע, וכדי לשמור על האי-שוויון שהוכפל, יש לבדוק בנפרד את שתי האפשרויות).

מן החוקים שהוזכרו לעיל, יחד עם התכונות הבסיסיות של יחס הסדר (ובפרט, הטרנזיטיביות שלו) נובע גם ש-

1. אם $\ a<b$ ו- $\;c<d$ אז $\ a+c<b+d$;
2. אם $\ 0<a<b$ ו- $\ 0<c<d$ אז $\ ac<bd$.

מערכת של אי-שוויונות ליניאריים

האלגברה הליניארית עוסקת במערכות של משוואות ליניאריות בכמה נעלמים. הצעד הבסיסי בחקירת אי-שוויונות הוא הבנת המבנה הגאומטרי של מערכת השוויונות המתאימה (המתקבלת מהחלפת כל סימן אי-שוויון בסימן השוויון). כפי שמשוואה ליניארית מגבילה את הפתרון לעל-מישור (שממדו קטן ב-1 מממד המרחב המקורי), כל אי-שוויון מגביל את הפתרון לחצי המרחב ("מעל" לשוויון ומתחתיו). מערכת של אי-שוויונות מגדירה פאון (לאו-דווקא חסום), העשוי להיות ריק אם אין למערכת פתרון. בעיות אופטימיזציה על קבוצות כאלה כרוכות בתכנון ליניארי.

כדי שלמערכת של משוואות ליניאריות (כמו $\ x+y=1,x+z=1,z-y=6$) לא יהיה פתרון, מוכרחה להיות תלות ליניארית בין המשוואות. בדומה לזה, כדי שלמערכת של אי-שוויונות $\ \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}>0$ ($\ i=1,\dots ,m$) לא יהיה פתרון, מוכרח להיות צירוף ליניארי עם מקדמים חיוביים של האי-שוויונות, השווה לאפס; כלומר, מוכרחים להיות קבועים $\ b_{1},\dots ,b_{m}\geq 0$, שאינם כולם אפס, כך ש- $\ \sum _{i=1}^{m}b_{i}(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j})=0$.

הכללה

יחס הסדר המוגדר על שדה המספרים הממשיים הופך אותו לשדה סדור; הסימונים, הפעולות והתכונות של יחס הסדר של הממשיים חלים באותו אופן בכל שדה סדור.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אי-שוויון בוויקישיתוף

• אי-שוויון, באתר MathWorld (באנגלית)

• אי-שוויונות, באתר לרגו