גרדיאנט

מונח באנליזה וקטורית, סוג של אופרטור גזירה

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

גְּרַדִיאֶנְט הוא הכללה של מושג הנגזרת בעבור חשבון אינפיניטסימלי של מספר משתנים. הגרדיאנט הוא אופרטור וקטורי המופעל על שדה סקלרי. הגרדיאנט של שדה סקלרי הוא שדה וקטורי המשייך לכל נקודה במרחב וקטור.

המחשה של גרדיאנט. באיורים האלה, השדה הסקלרי מתואר באמצעות שינוי הצבע, כאשר אזורים כהים יותר הם ערכים גדולים יותר של הפונקציה. החצים הכחולים מתארים את הגרדיאנט הנגזר מהשדה הסקלרי. החצים פונים אל עבר האזורים הגבוהים יותר.

כיוון וקטור הגרדיאנט מצביע אל הכיוון בו השינוי בשדה הסקלרי מקסימלי (חיובי). גודל וקטור הגרדיאנט כשיעור השינוי המקסימלי.

אינטואיציה

עריכה

נתבונן לדוגמה, באזור הררי. הגובה של כל נקודה ברכס ההרים יתואר על ידי פונקציה (שדה סקלרי). בכל נקודה, ניתן להסתכל על הכיוון בו השיפוע לפונקציה שהותאמה לה הוא הגדול ביותר. זהו, למעשה, הכיוון בו הגובה משתנה בצורה המהירה (החזקה) ביותר. אם נשחרר כדור בנקודה זו, הוא יתגלגל בדיוק לכיוון ההפוך (שיפוע חזק ביותר לכיוון השלילי). באופן זה, ניתן להתאים לכל נקודה וקטור בכיוון השיפוע הגדול ביותר, וגודלו נקבע על פי גודל השיפוע. וקטור זה הוא וקטור הגרדיאנט.

דוגמה נוספת היא בניית כבישים וגגות כך שהמים יתנקזו באופן יעיל. יש ליצור שיפוע קטן, על מנת שהמים יזרמו אל פתח הניקוז. המסלול שהמים מבצעים בדרכם אל המרזב, הוא הכיוון בו הגובה משתנה בצורה הכי מהירה, שהוא גם וקטור הגרדיאנט.

סימון

עריכה

הגרדיאנט של פונקציה סקלרית  מסומן על ידי :   כאשר   מסמל את אופרטור הגזירה דֶל (סמל המשולש עצמו נקרא בשם "נבּלה"). כאשר משתמשים במערכת קואורדינטות, ווקטורי הבסיס אינם פונקציות של המיקום במרחב, הגרדיאנט נתון כווקטור של נגזרות חלקיות. למשל במרחב אוקלידי תלת־ממדי  

מתוך ההגדרה נובע שהגרדיאנט הוא וקטור, כיוון שהפעלת וקטור הנגזרות החלקיות (אופרטור הגזירה דֶל) על הפונקציה סקלרית מחזירה וקטור (הגרדיאנט).

הגדרה פורמלית במרחב האוקלידי התלת־ממדי

עריכה

במרחב אוקלידי תלת־ממדי, הגרדיאנט של שדה סקלרי כלשהו שמתואר על ידי קואורדינטות קרטזיות   מוגדר כך:

 

כאשר   הם וקטורי היחידה המקבילים לצירים.

באופן כללי, עבור   פונקציה סקלרית כלשהי מעל מרחב וקטורי בעל  ממדים, ניתן להגדיר את הגרדיאנט כך:

 

למה וקטור גרדיאנט נותן את הכיוון בו השינוי הוא מקסימלי?

עריכה

נסתכל על ההגדרה של נגזרת כיוונית, ונשאל מהו הווקטור שבו המכפלה הסקלרית עם וקטור הגרדיאנט תהיה מקסימלית? מהגדרת המכפלה הסקלרית, ברור שהמקסימום יתקבל כאשר הזווית בין הווקטורים תהיה אפס (קוסינוס מקבל ערך מקסימלי באפס), ומכאן נובע שהווקטור שבו המכפלה הסקלרית תהיה מקסימלית היא וקטור הגרדיאנט עצמו.

דוגמה

עריכה

הפוטנציאל הוא שדה סקלרי  , והכוח שפועל על חלקיק שנמצא בהשראת אנרגיה פוטנציאלית הוא הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית   (ראה דוגמאות ספציפיות בערך אנרגיה פוטנציאלית). לכן, הכוח שיפעל על הגוף ימשוך אותו לכיוון בו הפוטנציאל יקטן הכי הרבה.

דוגמה נוספת (חישובית):

יהי   שדה סקלריגזיר בכל מקום פרט ל- ). אזי הגרדיאנט שלו (בקואורדינטות קרטזיות) הוא:

 

שכן  .
כדאי לשים לב שהחישוב הוא מיידי בקואורדינטות כדוריות, שם הגרדיאנט נתון על ידי הנוסחה:

 

ומאחר ש   מקבלים ש-

 .

כצפוי, בשתי הדרכים קיבלנו תוצאה זהה.

גרדיאנט באנליזה על יריעות

עריכה

את הגרדיאנט יותר טבעי להגדיר דווקא כפונקציונל הנקרא "דיפרנציאל":

 

פונקציונל זה מקבל וקטור v ומחזיר את הסקלר:

 

האות   הכתובה בכתיב עילי מייצגת אינדקס רץ שמייצג קואורדינטה של וקטור ולא חזקה.

במרחב עם מטריקה, אפשר להגדיר את הגרדיאנט כווקטור על ידי "העלאת אינדקסים", כלומר, על ידי התאמת וקטור   ל-df כך ש-

 

כאשר g היא המטריקה: תבנית ביליניארית סימטרית וחיובית בהחלט.

בקואורדינטות אפשר לכתוב את וקטור הגרדיאנט כך:

 

כאשר   הוא האיבר בשורה ה-  והעמודה ה--  של המטריקה ההופכית (כלומר: המטריצה ההופכית למטריקה, g-1) ו-  הם הווקטורים המשיקים הפורשים את המרחב המשיק בנקודה.

גרדיאנט במערכת קואורדינטות אורתוגונליות כלשהי

עריכה

נניח מערכת קואורדינטות אורתוגונלית  . כלומר, וקטורי היחידה המתאימים מקיימים:

 

כאשר

 

הוא הדלתא של קרונקר.

הווקטורים המשיקים הם  .

נרשום צורה כללית לגרדיאנט של פונקציה סקלרית כלשהי  :

 

ונמצא את המקדמים  .

לשם כך נחשב את הדיפרנציאל של  :

 

מתקיים ש-  אבל

 

ולכן, כיוון שווקטורי היחידה המשיקים הם אורתוגונליים   מתקיים

 

מכיוון ש-  בלתי תלויים נשווה מקדמים איבר איבר ונקבל

 

ומכאן נקבל

 

כנדרש.

הערה: ההכללה לממד כלשהו n מיידית. עובדים עם הצגת הסכומים כ-  ונותנים לכל אינדקס לרוץ מ-1 עד n.

נניח מערכת קואורדינטות אורתוגונלית  .

הווקטורים המשיקים הם:   כאשר   הם וקטורים משיקים מנורמלים ו-  הם ה-scale factors.

הטנזור המטרי במקרה של קואורדינטות אורתוגונליות

 

הוא מטריצה אלכסונית, ונזכור ש-

 

כאשר   היא המטריצה ההופכית ל-g.

נציב בהגדרת הגרדיאנט,

 

(המעבר השלישי נעשה כי   מטריצה אלכסונית,   כאשר   היא הדלתא של קרונקר)
ובסך הכול נקבל

 

קשרים בין אופרטורים

עריכה
    • דיברגנץ, גרדיאנט ולפלסיאן:  

משפט הגרדיאנט

עריכה

משפט הגרדיאנט אומר שאם   היא שדה סקלרי (פונקציה   ) חלק מספיק (גזיר ברציפות), אזי לכל מסילה שמתחילה בנקודה כלשהי A ומסתיימת בנקודה כלשהי B האינטגרל הקווי על   לאורך המסילה לא תלוי במסילה עצמה אלא רק בנקודות הקצה ומתקיים

 

לשדה הווקטורי   קוראים "שדה וקטורי משמר" או בהקשר של פיזיקה "כוח משמר" ומתקיים

 

ראו גם

עריכה

לקריאה נוספת

עריכה

קישורים חיצוניים

עריכה
  מדיה וקבצים בנושא גרדיאנט בוויקישיתוף