הזהות הגמישה

באלגברה לא אסוציאטיבית, הזהות $\ x(yx)=(xy)x$ נקראת הזהות הגמישה. זהות זו משותפת למחלקות חשובות רבות של אלגברות לא אסוציאטיביות, לרבות אלגברות לי, אלגברות ז'ורדן ואלגברות אלטרנטיביות. כל אלגברה קומוטטיבית או אנטי-קומוטטיבית מקיימת את הזהות הגמישה.

קשרים

מן הזהות הגמישה נובע שהאסוציאטור מקיים את המולטילינאריזציה $\ (x,y,z)+(z,y,x)=0$, ובמאפיין שונה מ-2, שתי הזהויות שקולות.

הזהות הגמישה שקולה לכך שהקומוטטור $\ [L_{x},R_{x}]=0$, כאשר $\ L_{x}$ ו- $\ R_{x}$ הן פעולות הכפל משמאל ומימין ב-x.

פיזור פעולת הכפל

אם A היא אלגברה לא אסוציאטיבית מעל שדה F, עם פעולת כפל $\ \cdot$, אפשר להגדיר בה פעולת כפל חדשה, $*$, לפי $\ x*y=\alpha x\cdot y+\beta y\cdot x$, כאשר $\ \alpha ,\beta \in F$ הם קבועים. איבר היחידה של $\ (A,\cdot )$ נשאר איבר יחידה גם ביחס לפעולה החדשה, אם $\ \alpha +\beta =1$. אם $\ \alpha \neq \beta$, אפשר לשחזר את $\ \cdot$ מן הפעולה $*$, לפי הנוסחה $\ x\cdot y=\alpha 'x*y+\beta 'y*x$ כאשר $\ \alpha '={\frac {\alpha }{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}},\quad \beta '={\frac {\beta }{\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}$.

אם A גמישה ביחס לפעולה המקורית, אז היא גמישה גם ביחס לפעולה החדשה.

במאפיין שונה מ-2, מסמנים ב- $\ A^{+}$ את האלגברה הקומוטטיבית המתקבלת מההגדרה $\ x*y={\frac {1}{2}}(xy+yx)$, היינו $\ \alpha =\beta ={\frac {1}{2}}$. בפרט, אם A גמישה, אז גם $\ A^{+}$ גמישה (אם כי ההפך אינו בהכרח נכון).

מיון

במאפיין אפס, אם A גמישה ופשוטה למחצה, אז $\ A^{+}$ אלגברת ז'ורדן.

בכל מאפיין שונה מ-2, אם A גמישה ופשוטה, ו-$\ A^{+}$ אלגברת ז'ורדן פשוטה, אז מתקיים אחד משלושת התנאים הבאים: (1) A היא אלגברת ז'ורדן פשוטה; (2) A היא אלגברה ריבועית עם תבנית נורמה לא מנוונת, או (3) A היא "אסוציאטיבית למחצה": קיימת K/F ריבועית, כך ש- $\ A\otimes _{F}K=B_{\lambda }$, כאשר B אלגברה פשוטה אסוציאטיבית מרכזית מעל K, והכפל ב- $\ B_{\lambda }$ מוגדר על ידי פיזור הכפל של B: $\ x*y=\lambda xy+(1-\lambda )yx$.