חוקי התנועה של ניוטון

חוקי התנועה של ניוטון הם שלושה חוקי פיזיקה שניסח אייזק ניוטון ואשר עוסקים בתנועתם של גופים. אלה הם חוקי היסוד של המכניקה הקלאסית.

אייזק ניוטון

ניוטון פרסם חוקים אלה לראשונה בספרו "העקרונות המתמטיים של פילוסופיית הטבע" (1687), והוכיח באמצעותם תוצאות רבות העוסקות בגופים אידיאליים, תוך שימוש בחשבון האינפיניטסימלי שפיתח לצורך כך. באמצעות חוקי התנועה שלו וחוק המשיכה האוניברסלי נתן ניוטון הסבר לחוקי קפלר על תנועתם של כוכבי לכת.

בשנת 1905 הראה אלברט איינשטיין, במסגרת תורת היחסות, שהחוק השני של ניוטון נכון בקירוב, ותקף עבור מהירויות נמוכות יחסית למהירות האור. עשר שנים מאוחר יותר, ב-1915, הראה איינשטיין שתורת הכבידה של ניוטון גם היא תורה מקורבת התקפה עבור שדות גרביטציה חלשים (כאשר הפוטנציאל הגרביטציוני φ קטן יחסית לריבוע מהירות האור ${\textstyle \varphi \ll c^{2}}$). איינשטיין הציע חוקים חדשים, התקפים לכל מהירות ולשדות גרביטציוניים חזקים.

החוק הראשון של ניוטון

חוק ההתמדה

ערך מורחב – התמד

החוק הראשון קובע כי גוף ימשיך בתנועתו כל עוד אין כוחות חיצוניים שפועלים עליו. כלומר בהיעדר כוחות חיצוניים, גוף השרוי במנוחה יישאר במנוחה, וגוף נע יתמיד בתנועתו במהירות קבועה בקו ישר.

או בניסוח מתמטי: ${\vec {a}}=0$ כל עוד $\Sigma {\vec {F}}=0$.

הניסוח המקורי של ניוטון היה: ”כל גוף ממשיך במצב מנוחתו או בתנועה קצובה בקו ישר, אלא אם כן יאלץ לשנות מצב זה על ידי כוחות הכפויים עליו.”

בחוק זה טמונה הגדרת מערכת הייחוס עליה חלים חוקי ניוטון - מערכת ייחוס אינרציאלית. זאת כיוון שקיימות מערכות אשר בהן החוק השני והשלישי לא יהיו תקפים. מערכת כזאת לדוגמה היא מערכת מואצת, בין אם בתאוצה סיבובית ובין אם בתאוצה קווית. כמו כן טמונה בחוק זה הגדרת מצב שיווי משקל של גוף: הכוחות הפועלים עליו חייבים להיות מנוגדים בכיוונם, שווים בגודלם ובעלי קו מגמה משותף.

מערכות לא אינרציאליות

במערכות אשר לא מצייתות לחוק הראשון של ניוטון נוהגים לבצע העתקה למערכת אינרציאלית תוך שימוש בהעתקת גלילי. ההעתקה מתבצעת באמצעות הוספת גופים מתמטים תאורטיים המכונים כוחות דלאמבר או כוחות מדומים, המייצגים את השפעות התאוצה כאשר הגופים מנותחים במערכת אינרציאלית. באמצעות הוספת גורמים אלו מתאפשר השימוש בחוקי ניוטון אף במערכות יחוס לא אינרציאליות.

החוק השני של ניוטון

חוק התאוצה

החוק השני קובע שתאוצה של גוף היא תמיד פרופורציונית לכוח שפועל עליו, ובאותו הכיוון. מקדם הפרופורציה הוא המסה של הגוף. אפשר לתאר את יחסי הגדלים במשוואה כך:

$F=ma$
$F$ – כוח, $m$ – מסה, $a$ – תאוצה.

לדוגמה: נניח כי יש חללית בחלל שמסתה 100 קילוגרם, ונניח כי פועל עליה כוח של 1,000 ניוטון. לפי החוק השני, החללית תנוע בתאוצה של 10 מטר לשנייה בריבוע. אם הכוח יגדל ל-2,000 ניוטון, התאוצה תגדל בהתאמה ל-20 מטר לשנייה בריבוע. לעומת זאת אם יש חללית שמסתה 200 קילוגרם, אזי כוח של 1,000 ניוטון יגרום לתאוצה של רק 5 מטר לשנייה בריבוע.

אם פועל על גוף יותר מכוח אחד, אז יש לחברם כסכום וקטורי לכדי הכוח השקול, המסומן $\sum {\vec {F}}$. בעזרת וקטורים ניתן לייצג את החוק השני במשוואה כך:

$\sum {\vec {F}}=m{\vec {a}}$

וקטור, המיוצג במשוואה לעיל על ידי משתנה עם חץ מעליו, הוא אובייקט מתמטי המייצג גם גודל וגם כיוון, ולכן המשוואה מבטאת גם את יחסי הגדלים בין התאוצה והכוח, וגם את הזהות בכיוונם.

ניתן לתאר את החוק השני גם במונחים של תנע, מכפלת המסה של הגוף במהירותו. החוק קובע כי שינוי כלשהו בתנע של גוף יתרחש רק בכיוון בו כח פועל עליו וכן גם ביחס ישר אל הכח. השינוי בתנע ${\vec {p}}$ מיוצג על ידי נגזרת שלו לפי הזמן:

$\sum {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}$

הניסוח המקורי של ניוטון היה: "השינוי בתנועה הוא תמיד פרופורציונלי לכח המופעל, ובכיוון הקו הישר שממנו הכוח הופעל". ניוטון הגדיר את המונח "כמות תנועה" באופן השקול למונח תנע הרווח בימינו.

ניוטון לא השתמש במונח "מסה", אלא ב"כמות חומר" (Quantity of Matter). בימינו לעיתים מגדירים מסה באותו האופן, היינו, כמות חומר. לעיתים מגדירים אותה דווקא על פי תפקידה בחוק השני של ניוטון. על פי חוק זה המסה היא המידה שבה גוף מתנגד לשינוי במהירותו (כלומר, ככל שהמסה גדולה יותר נדרש כוח רב יותר כדי לקבל את אותה התאוצה).

לעיתים מתבלבלים בין המונחים "מסה" ל"משקל". מסה היא תכונה יסודית של גוף, בעוד שמשקל הוא גודל הנורמל הפועל עליו. גוף שמסתו 10 קילוגרם ישקול בערך 100 ניוטון על פני כדור הארץ. אם נעביר את הגוף הזה לירח, אז מסתו תישאר 10 קילוגרם, כיוון שהגוף לא השתנה ותכונותיו נשארו זהות. אך מכיוון ששדה הכבידה של הירח קטן יותר, משקלו יפחת בהרבה.

בתורת ניוטון למסה תפקיד נוסף, והיא מופיעה גם בחוק הכבידה האוניברסלי. לעיתים נותנים שם נפרד לכל תפקיד: "מסת התמד" עבור המסה של החוק השני, ו"מסת כבידה" עבור המסה של חוק הכבידה. מדוע מסת התמד ומסת כבידה הן תמיד זהות נחשב לתעלומה.

החוק השלישי של ניוטון

חוק הפעולה והתגובה

האדם המושך חבל הקשור לקיר מפעיל עליו כוח F1. על האדם פועל כוח F2 השווה בגודלו והפוך בכיוונו.

חוק זה דן בכוחות הפועלים באינטראקציה בין גופים. החוק קובע כי כאשר גוף מפעיל כוח כלשהו על גוף אחר, הגוף האחר יפעיל כוח השווה בעוצמתו אך מנוגד בכיוונו על הגוף הראשון.

בניסוח מתמטי: ${\vec {F}}_{1,2}=-{\vec {F}}_{2,1}$.

הפעולה והתגובה הם שני כוחות שווים ומנוגדים הפועלים על שני גופים שונים, לכן אין הם יכולים לבטל זה את זה אף על פי שסכומם הווקטורי הוא אפס.

מקובל לכנות את שני הכוחות כוח הפעולה וכוח התגובה, ולעיתים מכנים את החוק השלישי 'חוק הפעולה והתגובה'. עם זאת, המונחים הללו יכולים להטעות, ואין להבין מהם שכוח אחד פועל קודם, ושכתוצאה ממנו פועל כוח התגובה. למעשה שני הכוחות נוצרים בו-זמנית כתוצאה של אותו חוק טבע. לדוגמה, כדור הארץ מפעיל כוח משיכה על הירח. על פי החוק השלישי, הירח מפעיל על כדור הארץ כוח תגובה בכיוון הנגדי. אך ניתן לתאר זאת גם הפוך: הירח מפעיל כוח משיכה על כדור הארץ, וכדור הארץ מפעיל כוח תגובה בכיוון הנגדי. למעשה שני הכוחות נוצרים בו-זמנית על פי חוק הכבידה.

על פי הגרסה החזקה של החוק השלישי של ניוטון, הכוח בין שני הגופים פועל על הקו הישר שמחבר ביניהם, ולעולם לא בקו עקום או משופע.

אי-תקפות

במערכות אלקטרומגנטיות שבהן פועל כוח לורנץ, החוק השלישי של ניוטון לא בהכרח תקף. למשל, במערכת שבה שני גופים טעונים במטען חשמלי נעים בניצב זה לזה, ייתכן מצב שבו אחד הגופים מפעיל כוח מגנטי על חברו ואילו הגוף השני לא מפעיל כוח כזה על הראשון. גם במערכות מרוחקות שבהן אין מגע בין שני הגופים, עקב הגודל הסופי של מהירות האור יעבור זמן מסוים עד שגוף אחד יפעיל כוח על הגוף השני. בפרק זמן זה, חוק הפעולה והתגובה איננו תקף.

דוגמאות לשימוש בחוקים

גזירת חוק שימור התנע

חוק שימור התנע הוא חוק חשוב בפיזיקה הקובע שבמערכת סגורה יש כמות קבועה של תנע, כאשר תנע מוגדר כמכפלת מסת הגוף במהירותו.

ניתן להוכיח חוק זה מתוך חוקי התנועה של ניוטון באופן הבא. נניח יש שני גופים שנקרא להם A ו-B, שנמצאים באינטראקציה ביניהם. נניח גוף B מפעיל על A כוח ${\vec {F}}$. על פי החוק השלישי של ניוטון, A מפעיל במקרה זה על B כוח שווה ומנוגד, כלומר $-{\vec {F}}$. על פי החוק השני של ניוטון הכוח שמופעל על גוף שווה לקצב השינוי בתנע שלו. מכאן שהתנע של A והתנע של B ישתנו שניהם בקצבים זהים אך בכיוונים מנוגדים. במילים אחרות, כל כמות תנע שתתווסף ל-A תגרע מ-B, ולהפך. לכן סך כל כמות התנע של A ו-B יחדיו תשמר.

הידרוסטטיקה

הידרוסטטיקה עוסקת בחקר זורמים נחים, כלומר נמצאים בשיווי משקל. כפועל יוצא מכך פיתוחים רבים בתחום משתמשים בחוק הראשון על מנת לתאר מערכות אלו. לדוגמה חוק פסקל, אחד החוקים הבסיסיים בהידרוסטטיקה, אינו עקרון בפני עצמו אלא מסקנה הנובעת מחוקי המכניקה. החוק מפותח תוך שימוש בכך שנוזלים נחים הם בשיווי משקל ולכן הכוחות הפועלים עליו חייבים להיות מנוגדים בכיוונם, שווים בגודלם ובעלי קו מגמה משותף כפי העולה מהחוק הראשון של ניוטון.

כוח המופעל על ידי חומר זורם

שרטוט החומר הזורם הפוגע במדרון

כוח המופעל על ידי חומר זורם כמו זרנוק של מים הניתז על חלון או תת-מקלע היורה לעבר מטרה הוא אינו גוף קשיח, נקודתי ובעלי מסה קבועה, ולכן אי אפשר להשתמש בנוסחה המקוצרת. פעמים רבות נדרש לחשב את כמות הכוח הפועל על יחידת נפח של הגוף על מנת לאמוד האם הגוף יעמוד בלחץ המופעל עליו.

לדוגמה: מקלע יורה כדורים במשקל $m$ במהירות $v_{0}$ ובתדירות $f$. מולו נמצא מדרון המוצב בזווית $\alpha$יחסית למקליע (ראו שרטוט) אשר מחזיר את הכדורים במהירות $v_{1}$ והדרישה היא למצוא את הכוח המופעל על המדרון. הדרך הפשוטה ביותר למצוא זאת היא לפי הפרש התנעים. כדי למצוא את הפרש התנעים ראשית יש לאתר את ספיקת החומר שפוגעת במדרון, במקרה שלנו הוא:

$Q\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;{\frac {dm}{dt}}=nm\cos \alpha$. בהנחה שמהירות הזרימה אחידה אזי התנע המוזרם ליחידת זמן הוא $Qv$ כלומר $p\;_{before}=nmv_{0}\cos \alpha$. באופן דומה נמצא את ספיקת החומר הנפלט מן המדרון ואת מהירותו, $p\;_{after}=nmv_{1}\cos \alpha$ מכאן שהכוח שמוגדר כשינוי התנע הוא: $F\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;{\frac {dp}{dt}}=nm\cos \alpha v_{0}-(-nm\cos \alpha v_{1})=nm\cos \alpha (v_{0}+v_{1})$.

מערכות מסה משתנה

מערכות מסה משתנה כמו טיל הפולט גזים, או חול הנשפך מתוך משאית נוסעת, הן אינן מערכות סגורות, ולכן לא יכולות להשתמש בחוק השני של ניוטון באופן ישיר באמצעות הפיכת המסה לפונקציה של הזמן:

$F={\frac {dp}{dt}}={\frac {d}{dt}}(mv)$

שכן מלבד צמצום המסה בגוף המקורי, חלק מהתנע שטמון במהירות נישא יחד עם המסה שפחתה. טעות נפוצה היא לגזור את התנע בהגדרתו המקורית לפי הזמן, אך פעולה זו תגרור שגיאה שכן החוק השני של ניוטון הוגדר רק על מערכת בעלת מספר חלקיקים שלא משתנה במהלך הזמן. אי לכך הנוסחה הבאה אינה נכונה:

${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=m_{t}{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}+{\vec {v}}{\frac {dm}{dt}}\;\;\;\;\textstyle {(wrong)}.$
קל להיווכח באי נכונות הנוסחה, שכן היא אינה מצייתת לעקרון היחסות של גלילי, כי לפי נוסחה זו במעבר בין מערכות ייחוס אינרציאליות ייוצר כוח. כדי ליצור נוסחה תקינה יש ליצור מערכת סגורה שתכיל את המסה ואת המסה הנפלטת/המתווספת ובה להשתמש בחוק השני של ניוטון. תוצאה של חישוב במערכת כזו מניבה את הנוסחה הבאה:

${\vec {F}}_{ext}+{\frac {dm}{dt}}{\vec {u}}=m_{t}{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$

כאשר ${\vec {u}}$ מייצג את מהירות המסה הנפלטת/מתווספת יחסית לגוף המואץ. מנוסחה זו רואים שכאשר אין שינוי במסה, או שהמהירות היחסית של המסה הנפלטת היא אפס כלומר לא נפלטה מסה, הנוסחה מצטמצמת ל-${\vec {F}}=m{\vec {a}}$.

לקריאה נוספת

• רוברט פ' קריז, המשוואות הגדולות – פריצות דרך במדע מפיתגורס עד הייזנברג, כתר ספרים, 2008, עמ' 44–67 (הספר בקטלוג ULI)

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא חוקי התנועה של ניוטון בוויקישיתוף

• החוק הראשון של ניוטון
• החוק השני של ניוטון
• עשר התגליות הגדולות בפיזיקה ובאסטרונומיה, באתר הידען
• ארז גרטי, שלושת חוקי התנועה של ניוטון, במדור "מאגר המדע" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 2 ביולי 2011
• חוקי ניוטון והפרדיגמה הגלילאנית
• דוגמה להפרה של החוק השלישי של ניוטון
• חוקי התנועה של ניוטון, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)