התמרת wavelet

במתמטיקה ועיבוד אותות, התמרת wavelet (בעברית: גלונים/אדוות) היא ייצוג פונקציה במרחב זמן-תדר באמצעות סדרה של פונקציות בעלות מאפיינים ייחודיים, הנקראות פונקציות wavelet. ההתמרה היא מהנפוצות ביותר היום.

ההתמרה באה לענות על המגבלה העיקרית של התמרת פורייה, שבה אין ייצוג לזמן. היות שלפי עקרון אי הוודאות בעיבוד אותות הרזולוציה בתחום התדר גדלה ככל שהרזולוציה בתחום האות קטנה, התמרת פורייה (שבה הרזולוציה בתחום התדר גדלה לאינסוף) אינה מכילה כל נתון על שינויים בזמן, וכאשר הפונקציה תורכב מחדש על ידי התמרה הפוכה, לא ניתן יהיה לדעת היכן התחיל האות. לפיכך, נעשה שימוש בהתמרה זו בפונקציות התחומות בזמן, בתדר משתנה, על מנת לקבל מגוון של רזולוציות בתחום התדר וכך לקבל מידע על שינויים בזמן. ההתמרה מסובכת מעט יחסית להתמרת פורייה הוותיקה יותר.

פונקציות ה-wavelet הן פונקציות תחומות בזמן של גל בתדר מקורי מסוים. בהתמרה משתמשים באחת מפונקציות ה-wavelet הידועות לייצוג של האות המותמר בבסיס המורכב מפונקציה זו, תוך ביצוע שני שינויים בפונקציה: מתיחה של הגל (ובכך שינוי התדר שלו) והזזה בזמן. צורת הפונקציה, לעומת זאת, אינה משתנה. בצורה זו ניתן לייצג תדרים שונים, להם מתאימה הפונקציה, בזמנים שונים, וכך לשחזר את האות במדויק.

כמו בהתמרת פורייה, גם כאן הפונקציות פורסות בסיס ליניארי וחייבות לענות על הדרישות הנובעות מכך (אורתונורמליות למשל); כמו כן, ההתמרה עצמה היא למעשה מכפלה סקלרית של הפונקציה המותמרת עם פונקציית ההתמרה (בפורייה - אקספוננט, כאן - פונקציית ה-wavelet). כאמור, בניגוד להתמרת פורייה, קיימות יותר מפונקציה אחת, וניתן להשתמש באחת מתוך כמה פונקציות, בהתאם לאות הנדגם.

פונקציית מאייר (Meyer)

אדוות מורלט (Morlet)

פונקציית "כובע מקסיקני" (Mexican Hat)

נוסחת ההתמרה

עבור כל $a$ ו-$b$, מגדירים

$\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\Psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)}}x(t)\,dt$

כאשר $x(t)$ הוא הפונקציה המותמרת ו-$\Psi$ הוא פונקציית ה-wavelet, ואז מקדמי ההתמרה $c_{jk}$ נתונים ע"י:

$c_{jk}=\left[W_{\psi }f\right]\left(2^{-j},k2^{-j}\right)$

כאשר $a=2^{-j}$ נקרא ערך הדילול הבינארי ו-$b=k2^{-j}$ נקרא ערך המיקום הבינארי. למעשה, הם האחראים על ההזזה ועל מתיחת הפונקציה.

פלט ההתמרה הוא סוג פונקציית ה-wavelet וערכי a (המייצג מתיחה של הפונקציה) ו-b (המייצג הזזה) בכל מקדם.

על מנת לבנות מחדש את הפונקציה מהמקדמים שהתקבלו, יש להשתמש בנוסחה:

$x_{a}(t)=\int _{\mathbb {R} }WT_{\psi }\{x\}(a,b)\cdot \psi _{a,b}(t)\,db$

כאשר המקדמים הם

$.WT_{\psi }\{x\}(a,b)=\langle x,\psi _{a,b}\rangle =\int _{\mathbb {R} }x(t){\psi _{a,b}(t)}\,dt$

דחיסה באמצעות wavelet

שימוש רב נעשה בצורה הדו-ממדית של התמרה זו לצורך ייצוג ודחיסת נתונים, במיוחד תמונות. פורמט JPEG 2000 משתמש בה. בשל אופיין הבדיד של פונקציות ה-wavelet, ההתמרה יעילה מאוד כדחיסה כאשר באות מפוזרים אלמנטים בדידים בעלי מאפיינים זהים (לילה זרוע כוכבים בתמונה, או כלי הקשה בקובץ קול). היא יעילה פחות כאשר האות הוא רציף ובעל שינויים אטיים יחסית. יתרון קידוד זה על פני קידוד JPEG המקורי הוא בכך שהתמונה מקודדת בשלבים, כאשר בכל שלב מקודדים פרטים קטנים יותר בתמונה. בצורה כזו, התכנה המפענחת את הקידוד יכולה לבחור להציג את התמונה ברזולוציות שונות, ובכך להציג את התמונה באיכות נמוכה מבלי לפענח את כולה.

בעוד סימן ההיכר של דחיסת יתר בפורמט JPEG הוא הופעת טשטוש בצורה של ריבועים בתמונה, סימן ההיכר של פורמט JPEG2000 הוא הילה מסביב לגופים בתמונה.

ראו גם

• עיבוד אותות
• התמרת פורייה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התמרת wavelet בוויקישיתוף

• מדריך wavelet באנגלית
• התמרת wavelet, באתר MathWorld (באנגלית)