ורונסקיאן

בתורת המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות, ורונסקיאן (באנגלית: wronskian) היא פונקציה שמסייעת לפתרון מערכות של משוואות ומשוואות מסדר גבוה. היא קרויה על שם המתמטיקאי והפילוסוף הפולני יוזף מאריה הנה-ורונסקי (Józef Maria Hoene-Wroński) (1776-1853).

הגדרה פורמלית

בהינתן קבוצה של $\ n$ פונקציות, $\ f_{1},\dots ,f_{n}$, הוורונסקיאן שלהן מוגדר בתור הדטרמיננטה הבאה:

$W(f_{1},\ldots ,f_{n})={\begin{vmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots &f_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}$

כלומר, זוהי הדטרמיננטה שמתקבלת מכך שמציבים את הפונקציות בשורה הראשונה, את הנגזרת הראשונה שלהן בשורה השנייה וכן הלאה, עד הנגזרת ה-$\ n-1$. נשים לב שהוורונסקיאן הוא פונקציה: עבור כל $\ x$ הוא מחזיר את הדטרמיננטה כאשר הפונקציות ונגזרותיהן מחושבות בנקודה $\ x$.

עבור מערכת של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מסדר ראשון נהוג להגדיר את הוורונסקיאן בצורה מעט שונה. כל פתרון של המערכת הוא פונקציה וקטורית, ולכן כל עמודה של הוורונסקיאן מכילה את הרכיבים של פונקציה אחת, במקום את הנגזרות שלה. הגדרה זו שקולה להגדרה המקורית במובן זה שאם מתרגמים משוואה ליניארית ממעלה $\ n$ למערכת של $\ n$ משוואות ליניאריות ממעלה ראשונה, הוורונסקיאן של הפתרונות יהיה זהה.

עבור ורונסקיאן של מערכת משוואות $\ {\vec {Y'}}=A{\vec {Y}}$ כאשר $\ A=(a_{ij})$ היא מטריצה מסדר $\ n\times n$ מתקיימת זהות אבל: אם $\ W(x)$ הוא הוורונסקיאן של קבוצת פתרונות של המערכת בנקודה $\ x$ אז מתקיים $\ W(x)=W(x_{0})e^{\int _{x_{0}}^{x}\sum _{i=1}^{n}a_{ii}(t)dt}$ מזהות זו ברור כי הוורונסקיאן מתאפס בכל נקודה או שאינו מתאפס כלל (שכן האקספוננט אינו יכול להתאפס, ולכן אם $\ W(x)=0$ אז בהכרח גם $\ W(x_{0})=0$).

שימושים

הוורונסקיאן משמש לבדיקת תלות ליניארית של פונקציות: אם הוורונסקיאן של קבוצת פונקציות שונה מאפס בקטע כלשהו, אז הפונקציות בלתי תלויות ליניארית בקטע זה. ההפך אינו בהכרח נכון – ייתכן שהוורונסקיאן יתאפס מבלי שהפונקציות יהיו תלויות ליניארית. המתמטיקאי מקסים בוחר (Maxime Bôcher) הבחין בכך שאם הפונקציות הן אנליטיות, אז התאפסות הוורונסקיאן מורה על כך שהפונקציות תלויות ליניארית. עם זאת, כאשר כל הפונקציות הן פתרונות של משוואה דיפרנציאלית ליניארית כלשהי, התאפסות הוורונסקיאן גוררת את תלות הפונקציות. לכן ניתן להשתמש בוורונסקיאן כדי לבדוק תלות ליניארית בין פתרונות של אותה משוואה דיפרנציאלית.

הוורונסקיאן משמש גם לצורך מספר אלגוריתמים של פתרון משוואות דיפרנציאליות אי-הומוגניות, כמו בתהליך וריאציית הפרמטר למשוואה מסדר ראשון או במציאת פונקציית גרין למשוואה מסדר שני.

ראו גם

• זהות אבל

קישורים חיצוניים

• ורונסקיאן, באתר MathWorld (באנגלית)