חלוקת יחידה

בטופולוגיה ובגאומטריה דיפרנציאלית חלוקת יחידה (נקרא גם פיצול יחידה) היא אוסף של פונקציות אי שליליות ממרחב כלשהו שסכומן הוא זהותית אחד, כאשר כל פונקציה לא מתאפסת רק באזור קטן שמוגדר מראש. חלוקת יחידה משמשת להרחבת אלמנטים שמוגדרים באופן מקומי (רק על סביבה קטנה) לאלמנטים שמוגדרים באופן גלובלי.

הגדרה

אוסף פונקציות $\left\{\psi _{i}\right\}_{i\in I}$ ממרחב טופולוגי X למספרים הממשיים נקרא חלוקת יחידה אם מתקיימים ארבעת התנאים:

• לכל $\ x\in X$ ולכל $\ i\in I$ מתקיים $\ 0\leq \psi _{i}(x)\leq 1$.
• לכל i התומך של $\ \psi _{i}$ שהוא הסגור של קבוצת כל הנקודות בהן $\ \psi _{i}$ לא מתאפס - הוא קומפקטי.

כלומר: $\ supp(\psi _{i})=cl\left\{x\in X:\psi _{i}(x)\neq 0\right\}$ היא קבוצה קומפקטית.

• לכל $\ x\in X$ קיימת סביבה U כך שלכל $\ i\in I$ חוץ ממספר סופי של אינדקסים ולכל $\ p\in U$, $\ \psi _{i}(p)=0$.
• סכום כל הפונקציות הוא 1 בכל נקודה. מהדרישה הקודמת סכום זה הוא סופי בכל נקודה ולכן אין בעיה של התכנסות טורים:

$\sum _{i\in I}\psi _{i}(x)=1$

כאשר נתון כיסוי $\left\{U_{i}\right\}_{i\in I}$, אם לכל i קיים j כך שהתומך של הפונקציה ה-i מוכל בקבוצה ה-j בכיסוי, נאמר שחלוקת היחידה משועבדת לכיסוי. כאשר ההכלה היא יותר מדויקת כלומר לכל i, התומך של הפונקציה ה-i בחלוקת היחידה מוכל בקבוצה ה-i בכיסוי (או בסימונים $\ supp(\psi _{i})\subset U_{i}$) נאמר שחלוקת היחידה משועבדת לכיסוי עם אותם אינדקסים.

אם כל הפונקציות בחלוקת היחידה הן פונקציות רציפות חלוקת היחידה נקראת חלוקת יחידה רציפה. ביריעה חלקה חלוקת יחידה היא חלקה (או $C^{\infty }$) אם כל הפונקציות שלה הן חלקות. בצורה דומה, ביריעה אנליטית חלוקת יחידה היא אנליטית אם כל הפונקציות שלה הן אנליטיות.

קיום

חלוקות יחידה טופולוגיות

תנאי מספיק לקיום חלוקת יחידה במרחב טופולוגי נורמלי הוא שהמרחב יהיה פרקומפקטי. כך לדוגמה ליריעות הטופולוגיות כמעט תמיד יש חלוקת יחידה רציפה (למעט מספר מצבים פתלוגיים).

קישורים חיצוניים

• חלוקת יחידה, באתר MathWorld (באנגלית)