עריכה
טופולוגיית זריצקי מוגדרת על מרחב אפיני מממד סופי
V
=
F
n
{\displaystyle V=F^{n}}
F
{\displaystyle F}
שדה כלשהו. יריעות האפסים
{
x
∈
V
:
f
(
x
)
=
0
}
{\displaystyle \{x\in V:f(x)=0\}}
f
∈
F
[
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle f\in F[x_{1},\dots ,x_{n}]}
בסיס של קבוצות סגורות לטופולוגיה; לחלופין, הקבוצות
U
f
=
{
x
∈
V
:
f
(
x
)
≠
0
}
{\displaystyle U_{f}=\{x\in V:f(x)\neq 0\}}
U
f
∩
U
g
=
U
f
g
{\displaystyle U_{f}\cap U_{g}=U_{fg}}
חוג הפולינומים נותרי , הקבוצות הסגורות הן קבוצות מהצורה
{
x
:
f
1
(
x
)
=
f
2
(
x
)
=
⋯
=
f
m
(
x
)
=
0
}
{\displaystyle \{x:f_{1}(x)=f_{2}(x)=\cdots =f_{m}(x)=0\}}
f
1
,
⋯
,
f
m
{\displaystyle f_{1},\cdots ,f_{m}}
קומפקטית .
טופולוגיית זריצקי היא הטופולוגיה הקטנה ביותר שעבורה כל הפונקציות הפולינומיות
f
:
F
n
→
F
{\displaystyle f:F^{n}\rightarrow F}
רציפות , ביחס לטופולוגיה הקו-סופית על
F
{\displaystyle F}
F
{\displaystyle F}
באופן כללי יותר כל העתקה פולינומית בין מרחבים וקטוריים היא רציפה בטופולוגיית זריצקי.
תהי
A
=
k
[
x
1
,
.
.
.
,
x
n
]
{\displaystyle A=k[x_{1},...,x_{n}]}
אלגברת הפולינומים מעל שדה סגור אלגברית
k
{\displaystyle k}
I
⊂
k
[
x
1
,
.
.
.
,
x
n
]
{\displaystyle I\subset k[x_{1},...,x_{n}]}
אידיאל כלשהו. נגדיר
V
(
I
)
=
{
x
∈
k
n
|
∀
f
∈
I
:
f
(
x
)
=
0
}
{\displaystyle {\mathcal {V}}(I)=\left\{x\in k^{n}|\forall f\in I:f(x)=0\right\}}
אזי:
V
(
0
)
=
k
n
V
(
A
)
=
∅
{\displaystyle {\mathcal {V}}(0)=k^{n}\,\ {\mathcal {V}}(A)=\emptyset }
כל הקבוצות מהצורה
V
(
I
)
{\displaystyle {\mathcal {V}}(I)}
קבוצות סגורות בטופולוגיית זריצקי.
"הופך סדר הכלה ":
I
2
⊂
I
1
⟹
V
(
I
2
)
⊃
V
(
I
1
)
{\displaystyle I_{2}\subset I_{1}\implies {\mathcal {V}}(I_{2})\supset {\mathcal {V}}(I_{1})}
V
(
I
1
I
2
)
=
V
(
I
1
∩
I
2
)
=
V
(
I
1
)
∪
V
(
I
2
)
{\displaystyle {\mathcal {V}}(I_{1}I_{2})={\mathcal {V}}(I_{1}\cap I_{2})={\mathcal {V}}(I_{1})\cup {\mathcal {V}}(I_{2})}
V
(
∑
λ
I
λ
)
=
⋂
λ
V
(
I
λ
)
{\displaystyle {\mathcal {V}}\left(\sum _{\lambda }I_{\lambda }\right)=\bigcap _{\lambda }{\mathcal {V}}(I_{\lambda })}
כל נקודה
a
∈
k
n
{\displaystyle a\in k^{n}}
קבוצה סגורה (היא מאפסת את האידיאל המקסימלי שנוצר על ידי
(
x
1
−
a
1
,
.
.
.
,
x
n
−
a
n
)
{\displaystyle (x_{1}-a_{1},...,x_{n}-a_{n})}
משפט האפסים של הילברט ). נגדיר לכל
H
⊂
k
n
{\displaystyle H\subset k^{n}}
I
(
H
)
=
{
f
∈
A
|
∀
x
∈
H
:
f
(
x
)
=
0
}
=
{
f
∈
A
|
f
|
H
=
0
}
{\displaystyle {\mathcal {I}}(H)=\left\{f\in A|\forall x\in H:f(x)=0\right\}=\left\{f\in A|\quad f|_{H}=0\right\}}
זהו אידיאל ב-
A
{\displaystyle A}
זהו אידיאל רדיקלי :
I
(
H
)
=
I
(
H
)
{\displaystyle {\sqrt {{\mathcal {I}}(H)}}={\mathcal {I}}(H)}
משפט האפסים של הילברט :
V
(
I
(
H
)
)
=
H
¯
{\displaystyle {\mathcal {V}}({\mathcal {I}}(H))={\overline {H}}}
לכל אידיאל
I
⊂
A
{\displaystyle I\subset A}
I
(
V
(
I
)
)
=
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I))={\sqrt {I}}}
"הופך סדר הכלה":
H
1
⊂
H
2
⟹
I
(
H
1
)
⊃
I
(
H
2
)
{\displaystyle H_{1}\subset H_{2}\implies {\mathcal {I}}(H_{1})\supset {\mathcal {I}}(H_{2})}
I
(
V
(
I
2
)
)
⊂
I
(
V
(
I
1
)
)
⟺
I
2
⊂
I
1
⟺
V
(
I
2
)
⊃
V
(
I
1
)
{\displaystyle {\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I_{2}))\subset {\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I_{1}))\iff {\sqrt {I_{2}}}\subset {\sqrt {I_{1}}}\iff {\mathcal {V}}(I_{2})\supset {\mathcal {V}}(I_{1})}
I
(
V
(
I
2
)
)
=
I
(
V
(
I
1
)
)
⟺
I
2
=
I
1
⟺
V
(
I
2
)
=
V
(
I
1
)
{\displaystyle {\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I_{2}))={\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I_{1}))\iff {\sqrt {I_{2}}}={\sqrt {I_{1}}}\iff {\mathcal {V}}(I_{2})={\mathcal {V}}(I_{1})}
מתכונות אלה מסיקים שיש התאמה חד-חד-ערכית ועל בין הקבוצות הסגורות של
k
n
{\displaystyle k^{n}}
A
=
k
[
x
1
,
.
.
.
,
x
n
]
{\displaystyle A=k[x_{1},...,x_{n}]}
k
{\displaystyle k}
A
{\displaystyle A}
k
n
{\displaystyle k^{n}}
M
a
x
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {Max} (A)}
האידיאלים המקסימליים של
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
k
[
x
1
,
.
.
.
,
x
n
]
{\displaystyle k[x_{1},...,x_{n}]}
משפט האפסים של הילברט (בגרסתו החלשה) ש-
M
a
x
(
k
[
x
1
,
.
.
.
,
x
n
]
)
≅
k
n
{\displaystyle \mathrm {Max} \left(k[x_{1},...,x_{n}]\right)\cong k^{n}}
מהאמור לעיל,
M
a
x
(
k
[
x
1
,
.
.
.
,
x
n
]
)
≅
k
n
{\displaystyle \mathrm {Max} \left(k[x_{1},...,x_{n}]\right)\cong k^{n}}
אידיאל מקסימלי ל"נקודה" במרחב האפיני ניתנת על ידי
a
→
=
(
a
1
,
.
.
.
,
a
n
)
⟷
(
x
1
−
a
1
,
.
.
.
,
x
n
−
a
n
)
{\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},...,a_{n})\longleftrightarrow (x_{1}-a_{1},...,x_{n}-a_{n})}
כאשר הסוגריים באגף ימין מסמלים את האידיאל הנוצר על ידי הפונקציות הללו. למעשה,
V
(
x
1
−
a
1
,
.
.
.
,
x
n
−
a
n
)
=
(
a
1
,
.
.
.
,
a
n
)
{\displaystyle {\mathcal {V}}\left(x_{1}-a_{1},...,x_{n}-a_{n}\right)=(a_{1},...,a_{n})}
כעת, יהי
I
{\displaystyle I}
k
[
x
]
{\displaystyle k[x]}
a
∈
V
(
I
)
{\displaystyle a\in {\mathcal {V}}(I)}
f
∈
I
{\displaystyle f\in I}
f
(
a
)
=
0
{\displaystyle f(a)=0}
f
∈
I
{\displaystyle f\in I}
(
x
−
a
)
|
f
(
x
)
{\displaystyle (x-a)|f(x)}
f
{\displaystyle f}
(
x
−
a
)
{\displaystyle (x-a)}
x
∈
V
(
I
)
⟺
I
⊂
M
x
{\displaystyle x\in {\mathcal {V}}(I)\iff I\subset M_{x}}
M
x
{\displaystyle M_{x}}
x
{\displaystyle x}
באמצעות הכללה זו אפשר להגדיר עבור
k
{\displaystyle k}
A
{\displaystyle A}
M
a
x
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {Max} (A)}
S
p
e
c
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}
אוסף האידיאליים הראשוניים של
A
{\displaystyle A}
יהי
I
{\displaystyle I}
A
{\displaystyle A}
אידיאל ראשוני
P
{\displaystyle P}
V
(
I
)
{\displaystyle {\mathcal {V}}(I)}
I
⊂
P
{\displaystyle I\subset P}
ואז מגדירים את הקבוצות מהצורה
V
(
I
)
{\displaystyle {\mathcal {V}}(I)}
הקבוצות הסגורות ב-
S
p
e
c
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}
סכמה (ראו סכמה אפינית ).
המרחבים הטופולוגיים המתקבלים כספקטרום של חוג קומוטטיבי נקראים מרחבים ספקטרליים (אנ' ) .
T.A. Springer, Linear Algebraic Groups , chapter 1 
![{\displaystyle f\in F[x_{1},\dots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2be91b5917599450c2f8a64f7b7f921f3ccdd147)
![{\displaystyle A=k[x_{1},...,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e427f50cc86b511da10c1c3c0e7ded9cfa811639)
![{\displaystyle I\subset k[x_{1},...,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d677f696daf9d490290434c769b7a43d21cf6376)
![{\displaystyle k[x_{1},...,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c94122b5f7993f4d088b504b7118b4d914b35d1)
![{\displaystyle \mathrm {Max} \left(k[x_{1},...,x_{n}]\right)\cong k^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4254f5db7a52133490dfd436759c793807c6968f)
![{\displaystyle k[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4915a37b1a02daf6efc009d5e99b8a911483bab0)
