אם X,Y מתפלגים בצורה אחידה בקטע [0,1] אזי אם נגדיר
R
=
−
2
∗
ln
(
x
)
{\displaystyle R={\sqrt {-2*\ln(x)}}}
θ
=
2
π
y
{\displaystyle \theta =2\pi y}
U
=
R
∗
c
o
s
θ
{\displaystyle U=R*cos\theta }
V
=
R
∗
s
i
n
θ
{\displaystyle V=R*sin\theta }
הצפיפות המשותפת של X, Y היא:
f
(
x
,
y
)
=
1
{\displaystyle f(x,y)=1}
יעקוביאן בהמרה מ-X,Y ל-R ו-θ:
J
(
R
,
θ
)
=
|
∂
R
∂
x
∂
θ
∂
x
∂
R
∂
y
∂
θ
∂
y
|
=
|
1
/
(
x
∗
−
2
ln
x
)
0
0
2
π
|
=
2
π
/
(
R
∗
e
−
R
2
/
2
)
{\displaystyle J(R,\theta )={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial R}{\partial x}}&{\dfrac {\partial \theta }{\partial x}}\\[2pt]{\dfrac {\partial R}{\partial y}}&{\dfrac {\partial \theta }{\partial y}}\\[2pt]\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1/(x*{\sqrt {-2\ln x}})&0\\0&2\pi \end{vmatrix}}\,=2\pi /(R*e^{-R^{2}/2})}
נמצא את היעקוביאן בהמרה בין R,θ ו-u,v:
J
(
u
,
v
)
=
|
∂
u
∂
R
∂
v
∂
R
∂
u
∂
θ
∂
v
∂
θ
|
=
|
c
o
s
θ
s
i
n
θ
−
R
s
i
n
θ
R
c
o
s
θ
|
=
R
{\displaystyle J(u,v)={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial R}}&{\dfrac {\partial v}{\partial R}}\\[2pt]{\dfrac {\partial u}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial v}{\partial \theta }}\\[2pt]\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}cos\theta &sin\theta \\-Rsin\theta &Rcos\theta \end{vmatrix}}\,=R}
עכשיו נמצא את הצפיפות המשותפת של V ו-U:
f
u
v
=
f
x
y
/
(
J
(
u
,
v
)
∗
J
(
R
,
θ
)
=
1
/
(
2
π
/
(
R
∗
e
−
R
2
/
2
)
∗
R
)
=
e
−
(
V
2
+
U
2
)
/
2
/
2
π
{\displaystyle f_{uv}=f_{xy}/(J(u,v)*J(R,\theta )=1/(2\pi /(R*e^{-R^{2}/2})*R)=e^{-(V^{2}+U^{2})/2}/{2\pi }}
שיטה זו דורשת שימוש בפונקציות טריגונומטריות וכן בשורש שאלו פעולות שלמחשב לוקח זמן רב לחשב ולכן שיטה זו איטית. בעקבות זאת, יצרו שיטות חדשות יעילות מעט יותר כמו שיטת מרסגליה וכן שיטות אשר האלגוריתם מסובך יותר אך הוא משתמש בפעולות בסיסיות בלבד שלא דורשות זמן חישוב רב כמו שיטת זיגורט .
![{\displaystyle J(R,\theta )={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial R}{\partial x}}&{\dfrac {\partial \theta }{\partial x}}\\[2pt]{\dfrac {\partial R}{\partial y}}&{\dfrac {\partial \theta }{\partial y}}\\[2pt]\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1/(x*{\sqrt {-2\ln x}})&0\\0&2\pi \end{vmatrix}}\,=2\pi /(R*e^{-R^{2}/2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9375c6c465a4ce96831e1e25d058b6431171ca77)
![{\displaystyle J(u,v)={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial R}}&{\dfrac {\partial v}{\partial R}}\\[2pt]{\dfrac {\partial u}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial v}{\partial \theta }}\\[2pt]\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}cos\theta &sin\theta \\-Rsin\theta &Rcos\theta \end{vmatrix}}\,=R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ca046252f438dfc790281fe1f4188afab10329)
