בהינתן רביעיית נקודות
(
a
,
b
,
c
,
d
)
{\displaystyle (a,b,c,d)}
היחס הכפול ביניהן מוגדר בנוסחה:
(
a
−
c
)
(
b
−
d
)
(
a
−
d
)
(
b
−
c
)
{\displaystyle {\frac {(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}}}
יחס בין היחס
(
a
−
c
)
(
a
−
d
)
{\displaystyle {\frac {(a-c)}{(a-d)}}}
(
b
−
c
)
(
b
−
d
)
{\displaystyle {\frac {(b-c)}{(b-d)}}}
היחס הכפול הוא שמורה של העתקת מביוס ושל העתקות פרויקטיביות .
בגלל האופי הסימטרי של ביטוי היחס הכפול, תמורות בין ארבע הנקודות
(
a
,
b
,
c
,
d
)
{\displaystyle (a,b,c,d)}
(
a
,
b
,
c
,
d
)
{\displaystyle (a,b,c,d)}
(
b
,
a
,
d
,
c
)
{\displaystyle (b,a,d,c)}
(
b
−
d
)
(
a
−
c
)
(
b
−
c
)
(
a
−
d
)
{\displaystyle {\frac {(b-d)(a-c)}{(b-c)(a-d)}}}
ככלל, בהינתן רביעיית נקודות בעלת יחס כפול
λ
{\displaystyle \lambda }
תמורה
תיאור קצר
ערכו של היחס הכפול
(
z
1
,
z
2
;
z
3
,
z
4
)
{\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})}
תמורת הזהות
λ
{\displaystyle \lambda }
(
z
1
,
z
2
;
z
4
,
z
3
)
{\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{4},z_{3})}
z
3
↔
z
4
{\displaystyle z_{3}\leftrightarrow z_{4}}
1
λ
{\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}
(
z
1
,
z
3
;
z
2
,
z
4
)
{\displaystyle (z_{1},z_{3};z_{2},z_{4})}
z
2
↔
z
3
{\displaystyle z_{2}\leftrightarrow z_{3}}
1
−
λ
{\displaystyle 1-\lambda }
(
z
1
,
z
3
;
z
4
,
z
2
)
{\displaystyle (z_{1},z_{3};z_{4},z_{2})}
z
2
←
z
4
←
z
3
←
z
2
{\displaystyle z_{2}\leftarrow z_{4}\leftarrow z_{3}\leftarrow z_{2}}
1
1
−
λ
{\displaystyle {\frac {1}{1-\lambda }}}
(
z
1
,
z
4
;
z
3
,
z
2
)
{\displaystyle (z_{1},z_{4};z_{3},z_{2})}
z
2
↔
z
4
{\displaystyle z_{2}\leftrightarrow z_{4}}
λ
λ
−
1
{\displaystyle {\frac {\lambda }{\lambda -1}}}
(
z
1
,
z
4
;
z
2
,
z
3
)
{\displaystyle (z_{1},z_{4};z_{2},z_{3})}
z
2
←
z
3
←
z
4
←
z
2
{\displaystyle z_{2}\leftarrow z_{3}\leftarrow z_{4}\leftarrow z_{2}}
λ
−
1
λ
{\displaystyle {\frac {\lambda -1}{\lambda }}}
עריכה
ליחס הכפול ישנה הגדרה שונה ושקולה בגאומטריה פרויקטיבית : יהיו
a
=
(
a
0
a
1
)
,
b
=
(
b
0
b
1
)
,
c
=
(
c
0
c
1
)
,
d
=
(
d
0
d
1
)
{\displaystyle a={\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\end{pmatrix}},\ b={\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\end{pmatrix}},\ c={\begin{pmatrix}c_{0}\\c_{1}\end{pmatrix}},\ d={\begin{pmatrix}d_{0}\\d_{1}\end{pmatrix}}}
T
{\displaystyle T}
T
(
a
)
=
∞
{\displaystyle T(a)=\infty }
T
(
b
)
=
0
{\displaystyle T(b)=0}
T
(
c
)
=
1
{\displaystyle T(c)=1}
T
(
d
)
{\displaystyle T(d)}
מהיות
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
c
{\displaystyle c}
c
=
α
a
+
β
b
{\displaystyle c=\alpha a+\beta b}
a
=
α
a
{\displaystyle a=\alpha a}
b
=
β
b
{\displaystyle b=\beta b}
T
(
α
a
)
=
(
1
,
0
)
{\displaystyle T(\alpha a)=(1,0)}
קואורדינטות הומוגניות ) וכן
T
(
β
b
)
=
(
0
,
1
)
{\displaystyle T(\beta b)=(0,1)}
כמו את
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
d
=
γ
a
+
δ
b
{\displaystyle d=\gamma a+\delta b}
T
(
d
)
=
T
(
γ
α
(
α
a
)
+
δ
β
(
β
b
)
)
=
γ
α
(
1
,
0
)
+
δ
β
(
0
,
1
)
=
(
γ
α
,
δ
β
)
=
(
γ
β
α
δ
,
1
)
{\displaystyle T(d)=T\left({\frac {\gamma }{\alpha }}(\alpha a)+{\frac {\delta }{\beta }}(\beta b)\right)={\frac {\gamma }{\alpha }}(1,0)+{\frac {\delta }{\beta }}(0,1)=\left({\frac {\gamma }{\alpha }},{\frac {\delta }{\beta }}\right)=\left({\frac {\gamma \beta }{\alpha \delta }},1\right)}
באמצעות נוסחת קרמר ניתן לקבל ביטויים מפורשים למקדמים α, β, γ ו־δ, ומהם לקבל את השקילות בין שתי ההגדרות.
