ייצוג של אלגברה

בתורת החוגים, ייצוג של אלגברה באמצעות יוצרים ויחסים היא דרך הגדרה של אלגברה. ייצוג של אלגברה כולל קבוצת יוצרים מובחנת וקבוצת יוצרים לאידיאל היחסים שלהם, כלומר לגרעין של ההטלה מן האלגברה החופשית המוגדרת באמצעות היוצרים המובחנים.

הגדרות

יהי $F$ שדה בסיס ותהי $R$ אלגברה מעל $F$. יהיו $\{a_{i}\}_{i\in I}$ יוצרים של $R$ בתור $F$-אלגברה ונתבונן באלגברה החופשית הנוצרת מעל $F$ על ידי המשתנים הפורמליים $\{x_{i}\}_{i\in I}$, היינו $F\langle x_{i}\rangle _{i\in I}$. ישנה כעת הטלה טבעית מן האלגברה החופשית ל-$R$ הניתנת באמצעות: $\phi (x_{i})=a_{i}$. ייצוג של $R$ הוא קבוצת יוצרים מובחנת כזו ל-$R$, ביחד עם קבוצת יוצרים לגרעין של $\phi$, הוא אידיאל היחסים.

בקטגוריה של אלגברות קומוטטיביות ניתן לחזור על אותה בנייה, כאשר את מקום האלגברה החופשית ממלאת האלגברה הקומוטטיבית החופשית.

אומרים כי אלגברה היא מוצגת סופית אם קיים לה מספר סופי של יוצרים, כך שהגרעין של ההטלה שתוארה לעיל הוא אידיאל נוצר סופית. זוהי אמנם תכונה של האלגברה עצמה, שאינה תלויה בייצוג: אם לאלגברה ישנו ייצוג סופי אחד, אזי אוסף היחסים בין כל אוסף סופי של יוצרים שלה, הוא נוצר סופית. יתרה מזאת, הגרעין של כל אפימורפיזם מאלגברה נוצרת סופית (כלשהי) על אלגברה מוצגת סופית הוא אידיאל נוצר סופית.

במקרה שבו ניתן להציג את האלגברה עם מספר שווה של יוצרים ושל יחסים, אומרים כי האלגברה מוצגת מאוזנת.

לאלגברה החופשית דירוג לפי המעלה הכוללת, ואומרים כי היחסים הומוגניים אם המונומים בכל אחד מהם שווי-דרגה. במקרה כזה האלגברה המתקבלת היא אלגברה מדורגת.

באלגברה קומוטטיבית

אלגברה קומוטטיבית היא מוצגת סופית אם ורק אם היא נוצרת סופית, בזכות משפט הבסיס של הילברט. בזיהוי הגאומטרי של חוג הפולינומים כחוג הפונקציות של המרחב האפיני, למספר היוצרים של אידיאל היחסים של אלגברה קומוטטיבית נוצרת סופית (ולזהותם) חשיבות רבה. כך, למשל, את היריעה המתאימה לאידיאל שנוצר על ידי אבר יחיד (לא נילפוטנטי) אפשר לזהות עם על-משטח: ממדו בהכרח קטן באחד מממד חוג הפולינומים. באופן כללי יותר, יריעה אפינית שממדה שווה להפרש בין מספר היוצרים למספר היחסים נקראת חיתוך שלם (תורת הסכמות).

באלגברה לא-קומוטטיבית

כל אלגברה עם זהויות שהיא נתרית ונוצרת סופית, גם מוצגת סופית. עם זאת, קיימות אלגברות עם זהויות נוצרות סופית, שאינן מוצגות סופית; ואלגברות נתריות נוצרות סופית שאינן מוצגות סופית. כל אלגברה מדורגת (עם דירוג סוף-ממדי) נתרית היא מוצגת סופית. תמונה הומומורפית של אלגברה מוצגת סופית נתרית מוצגת סופית אף היא.

לפי אי-שוויון גולוד-שפרביץ', אלגברה מדורגת המוגדרת באמצעות n יוצרים ופחות מ-${\frac {(n-1)^{2}}{4}}$ יחסים הומוגניים היא אינסוף-ממדית (כמרחב וקטורי מעל שדה הבסיס).

אלגברה המוגדרת באמצעות יחסים מונומיאליים, כלומר יחסים שהם מילים ביוצרים של האלגברה החופשית נקראת אלגברה מונומיאלית. באלגברות כאלה יש לתכונות אלגבריות רבות פירושים נוחים יותר; כך, למשל, ניתן להכריע האם אבר שקול לאפס באלגברה באמצעות המונומים המרכיבים אותו, והאלגברה היא ראשונית אם ורק אם לכל שני מונומים $u,v\neq 0$ קיים מונום $w$ כך ש-$uwv\neq 0$. גם חישוב ממד גלפנד-קירילוב של אלגברות כאלה נעשה פשוט וקומבינטורי יותר. לאלגברות מוצגות סופית מונומיאליות יש תיאור באמצעות אוטומט, ואלגברה מוצגת סופית מונומיאלית וראשונית היא פרימיטיבית.

ראו גם

• ייצוג של חבורה