משולש ישר-זווית

המונח "יתר" מפנה לכאן. לערך העוסק בדמות מקראית, ראו יתר הישמעאלי.

משולש יְשַׁר-זווית הוא משולש בעל זווית ישרה.

במשולש זה, שתי הצלעות שכולאות את הזווית הישרה נקראות ניצבים, והצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר.

משולש ישר-זווית הוא הבסיס לפונקציות הטריגונומטריות.

תכונות

משולש ישר-זווית מקיים את משפט פיתגורס: סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.
התיכון ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שוקיים.
משולש ישר-זווית מקיים את משפט תאלס: אם משולש ישר-זווית חסום במעגל, אז היתר מתלכד עם קוטר המעגל, והתיכון ליתר הוא רדיוס במעגל החוסם.
הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים למשולש המקורי (ולכן גם דומים זה לזה). מכאן נובע משפט אוקלידס - אורך הניצב הוא הממוצע הגאומטרי של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר (תיכון היתר שווה למחציתו).
כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני.
הניצב מול זווית של 30 מעלות שווה למחצית היתר. משפט הפוך: אם ניצב שווה למחצית היתר - הזווית מולו שווה ל-30 מעלות.
חוצה הזווית הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה.

נוסחאות

אם הניצבים של המשולש הם $\ a$ ו- $\ b$ , היתר הוא $\ c$ והגובה ליתר הוא $\ h$ , אז מתקיים:

\ a^{2}+b^{2}=c^{2}

(משפט פיתגורס)

וכן:

{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{h^{2}}}

שטח המשולש הוא:

{\text{Area}}={\frac {ab}{2}}={\frac {ch}{2}}

אם רדיוס המעגל החסום במשולש הוא $\ r$ , אז מתקיים:

r={\frac {1}{2}}(a+b-c)={\frac {ab}{a+b+c}}

אם התיכונים לניצבים הם $\ m_{a}$ ו- $\ m_{b}$ והתיכון ליתר הוא $\ m_{c}$ , אז מתקיים:

m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}

הגדרת פונקציות טריגונומטריות

ערך מורחב – פונקציות טריגונומטריות

את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 ל-90 מעלות ( ${\frac {\pi }{2}}$ רדיאנים), מגדירים כיחס בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.

עבור זווית $\alpha$ הכלואה בין הניצב $\ b$ והיתר $\ c$ ומול הצלע $\ a$ מוגדר:

\sin \alpha ={\frac {a}{c}},\,\cos \alpha ={\frac {b}{c}},\,\tan \alpha ={\frac {a}{b}},\,\sec \alpha ={\frac {c}{b}},\,\cot \alpha ={\frac {b}{a}},\,\csc \alpha ={\frac {c}{a}}

עבור זווית כללית מגדירים באמצעות מעגל היחידה.

משולשים ישרי-זווית מיוחדים

משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30 מכונה לפעמים "משולש הזהב", ובו אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זה הוא חצי ממשולש שווה-צלעות. לעיתים השם "משולש הזהב" שמור למשולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, שכן היחס בין השוקיים לבסיס בו הוא יחס הזהב.

בעברית מקובל גם המושג "משולש כסף", למשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. הזוויות שלו הן: 45, 45, 90. היחס בין אורך היתר לאורך הניצב הוא שורש 2, שהוא ככל הנראה המספר האי-רציונלי הראשון שהתגלה.

שלשה פיתגורית

שלשה פיתגורית (או שלשה פיתגוראית) היא שלשה של מספרים טבעיים המקיימת את השוויון $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , המופיע במשפט פיתגורס. בהתאם למשפט ההפוך למשפט פיתגורס, משולש שצלעותיו מהוות שלשה פיתגורית הוא משולש ישר-זווית.

ראו גם

המשולש הישר של פרמה

קישורים חיצוניים

אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית, freewebs (בעברית)
אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית, mathportal (באנגלית)
משולש ישר-זווית, באתר MathWorld (באנגלית)