כדור (טופולוגיה)

במתמטיקה, במרחב מטרי, כדור הוא קבוצה המכילה את כל הנקודות שמרחקן מנקודה נתונה קטן ממספר קבוע (שנקרא הרדיוס של הכדור).

לדוגמה:

• בישר הממשי כדור הוא קטע.
• במישור האוקלידי הכדור הוא עיגול.
• בגאומטריית נהגי המוניות, כדור הוא יהלום.
• במרחב דיסקרטי כדור הוא המרחב כולו, או שהוא נקודה יחידה.

מבחינה טופולוגית, כל כדור הוא סביבה של הנקודות שבתוכו.

כדור פתוח מרדיוס r > 0 אשר מרכזו בנקודה p נכתב לרוב כ-$\ B_{r}(p)$.

דבר זה מוגדר כ:

$\ B_{r}(p):=\{x\ |\ d(x,p)<r\}$

כאשר d הוא פונקציית המרחק (מטריקה). ב-Rⁿ, פונקציית המרחק האוקלידית הרגילה נתונה על ידי:

$d(x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$.

יש לשים לב שכדור פתוח תמיד מכיל את p וזאת כיוון ש r > 0.

כדורים לפי מטריקה d יוצרים בסיס לטופולוגיה המושרית על ידי d. כלומר, כל הקבוצות הפתוחות במרחב המטרי יכולות להיכתב כאיחוד של כדורים פתוחים.

אם סימן ה"קטן מ" (<) יוחלף על ידי "קטן שווה מ" (≤), יתקבל כדור סגור. הוא מסומן לרוב על ידי ${\bar {B}}$ כלומר הוספת קו עליון ל-B (ראה סגור).

אם r = 1, אז הכדור נקרא כדור יחידה.

כדור היחידה הסגור במרחב האוקלידי ה-n ממדי מסומן בטופולוגיה כ-Dⁿ (מהמילה דיסק שמגיעה מהמקרה הדו-ממדי).

קבוצה היא חסומה אם יש כדור שמכיל אותה. קבוצה היא חסומה כליל אם לכל רדיוס נתון, היא מכוסה על ידי מספר סופי של כדורים בעלי רדיוס זה.

בשם "ספירה" (Sphere) נהוג לכנות את כל הנקודות הנמצאות בדיוק במרחק r מהמרכז.

ראו גם

• כדור (גאומטריה)