תאוצה

בפיזיקה, תאוצה היא קצב שינוי המהירות של גוף נע. בשפת הדיבור, המונח משמש בצורה דומה להגדרה הפיזיקלית: כאשר מתארים רכב כבעל תאוצה מעולה, הכוונה שביכולתו להגביר את מהירותו תוך פרק זמן קצר בהשוואה לכלי רכב אחרים. עם זאת, לתאוצה בהגדרתה הפיזיקלית יכול להיות גם ערך שלילי, שמשמעותו שהגוף מאיץ את מהירותו בכיוון הנגדי מהציר שהוגדר (הגוף מאט רק כשהתאוצה מנוגדת לכיוון המהירות בה הגוף נע). בשפת הדיבור, תאוצה נגד כיוון המהירות מכונה לעיתים רבות תאוטה.

התאוצה הרגעית מתוארת בגרף זה על ידי המשיק (הירוק) לעקומת המהירות (הכחולה). העקומה הכחולה מראה את המהירות (בציר האנכי) כפונקציה של הזמן (בציר האופקי). בכל רגע נתון התאוצה, שהיא קצב השינוי של המהירות, היא השיפוע של העקומה באותו רגע. את השיפוע בנקודת זמן מסוימת מוצאים דרך מציאת המשיק לעקומה באותה נקודת זמן, והוא שווה לנגזרת באותה נקודה.

שלושת הגרפים מתארים את המרחק (מקום), מהירות ותאוצה (אדום, ירוק וכחול בהתאמה) של אותו גוף ביחס לזמן (כך למשל, בנקודת ההתחלה, כאשר t=0, שלושת הפרמטרים שווים ל-0). באיור זה המהירות גדלה בכל רגע, אך קצב הגדילה שלה הוא קבוע, ולכן קצב התרחקות הגוף מנקודת ההתחלה שלו גדל באופן לא ליניארי. בעוד שתאוצת הגוף נשארת קבועה וגדולה מ-0.

באיור זה, מהירות הגוף קבועה, ולכן המקום של הגוף משתנה באופן ליניארי. תאוצת הגוף קבועה ושווה ל-0, כלומר, אין תאוצה.

במערכת היחידות הבין-לאומית, יחידות התאוצה הן מטר חלקי שנייה בריבוע. ניתן לחשוב על היחידות גם כ"מטר לשנייה, בשנייה", כלומר: כמה המהירות (הנמדדת במטר לשנייה) משתנה מדי שנייה.

בחישובים מתמטיים, מקובל לסמן את התאוצה באות a, הרומזת למילה הלטינית accelere שמשמעותה "להאיץ".

השינוי בקצב התאוצה נקרא נתירה, והוא משמעותי בהנדסת מערכות מסוימות, בעיקר במערכות מרובות טלטלות המכילות או מורכבות מגופים עדינים ושבירים.

תאוצה בחשבון אינפיניטסימלי

מבחינה מתמטית, אם x מתאר את המקום של גוף מסוים על קו ישר (העתק), הרי שהמהירות מתארת את קצב השינוי של המקום ביחס לזמן שחלף, כלומר, הגוף נע במהירות ממוצעת גבוהה אם תוך זמן קצר הוא עבר מרחק רב. התאוצה מוגדרת כקצב השינוי של המהירות ביחס לזמן, כלומר, גוף נמצא בתאוצה ממוצעת גבוהה אם הוא הגביר את מהירותו תוך זמן קצר.

בעזרת חשבון אינפיניטסימלי ניתן להגדיר לא רק מהירות ותאוצה ממוצעות שנמדדות בין שתי נקודות זמן, אלא גם מהירות ותאוצה ברגע מסוים. כלומר, המהירות (v) מוגדרת כנגזרת של x לפי הזמן (t), והתאוצה (a) שווה לנגזרת של המהירות לפי הזמן (ולנגזרת השנייה של המיקום לפי הזמן).

באופן פורמלי: ${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {x}}}{dt^{2}}}$

פעמים רבות, נתונה דווקא התאוצה כפונקציה של הזמן, ${\vec {a}}(t)$, ונדרש לחשב (בעזרת המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי) את הקינמטיקה של הגוף: $$v(t)=v_{0}+\int _{0}^{t}a(t')dt'$$

$x(t)=x_{0}+\int _{0}^{t}v(t')dt'=x_{0}+v_{0}t+\int _{0}^{t}\int _{0}^{t'}a({\tilde {t}})d{\tilde {t}}dt'$

כאשר $x_{0}=x(t=0),v_{0}=v(t=0)$, הם תנאי ההתחלה, כלומר: מצבו של הגוף בתחילת התנועה.

במקרה שבו התאוצה קבועה, מתקבלות משוואות התנועה: $$v(t)=v_{0}+at$$ $$x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}$$

תאוצה במכניקה הקלאסית

התאוצה היא וקטור, כלומר יש לה לא רק גודל אלא גם כיוון. כאשר גוף מאיץ, פירוש הדבר שמהירותו בכיוון מסוים משתנה.

החוק השני של ניוטון קובע, כי גוף שפועל עליו כוח שאינו מתבטל על ידי כוח נגדי, נע בתאוצה. כלומר, על מנת להאיץ מסה, יש להפעיל עליה כוח. כיוון התאוצה יהיה בכיוון הכוח, וגודלה יעמוד ביחס ישר לגודל של הכוח (F) וביחס הפוך למסה של הגוף (m).

באופן פורמלי: ${\vec {a}}={\vec {F}}/m$

או, בניסוח שקול: ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$

כאשר פועלים על הגוף כמה כוחות, התאוצה תהיה מושפעת מהסכום הווקטורי של הכוחות: ${\vec {a}}=\Sigma {\vec {F}}/m$ או, באופן שקול: $\Sigma {\vec {F}}=m{\vec {a}}$

במקרה בו מסת הגוף משתנה (למשל: בטיל שמשליך מעליו דלק), השינוי בתאוצה קשור גם לשינוי במסה: ${\vec {a}}={\frac {1}{m}}\left(\Sigma {\vec {F}}-{\frac {dm}{dt}}{\vec {v}}\right)$

תאוצה משיקית ותאוצה אנכית

גוף יכול להאיץ גם בכיוון שונה מהכיוון שהוא נע לעברו. ניתן לפרש את התאוצה הכוללת של הגוף ברגע נתון כשילוב של שתי תאוצות:

• תאוצה בכיוון המשיק (tangential) לכיוון התנועה, המשפיעה רק על גודלה של המהירות בכיוון התנועה. לעיתים מסמנים תאוצה זו כ-

${\vec {a_{T}}}=a_{T}{\hat {T}}$ (כאשר ${\hat {T}}={\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}$ הוא וקטור יחידה בכיוון המשיק למהירות).

• תאוצה בכיוון הניצב (normal) לכיוון התנועה, המשנה את כיוון התנועה. לעיתים מסמנים תאוצה זו כ-${\vec {a_{N}}}=a_{N}{\hat {N}}$ (כאשר ${\hat {N}}$ הוא וקטור יחידה בכיוון הניצב למהירות).

התאוצה הכוללת של הגוף שווה לסכום שני רכיבי התאוצה: ${\vec {a}}=a_{T}\cdot {\hat {T}}+a_{N}\cdot {\hat {N}}$

פיתוח מתמטי

ראשית, נשים לב כי: ${\frac {d}{dt}}\|{\vec {v}}\|={\vec {a}}\cdot {\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}={\vec {a}}\cdot {\hat {T}}=a_{T}$ כלומר: $(1)\ \ \ {\frac {d}{dt}}\|{\vec {v}}\|=a_{T}$. (ניתן להוכיח זאת בעזרת כתיבה מפורשת של $\|{\vec {v}}\|$ כפונקציה של הרכיבים הקרטזיים שלה). בנוסף, נוכל לכתוב: ${\vec {a}}={\frac {d}{dt}}{\vec {v}}$ $={\frac {d}{dt}}(\|{\vec {v}}\|\cdot {\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}})$ $={\frac {d}{dt}}(\|{\vec {v}}\|\cdot {\hat {T}})$ $=({\frac {d}{dt}}\|{\vec {v}}\|)\cdot {\hat {T}}+\|{\vec {v}}\|\cdot ({\frac {d}{dt}}{\hat {T}})$ $=a_{T}\cdot {\hat {T}}+\|{\vec {v}}\|\cdot ({\frac {d}{dt}}{\hat {T}})$ כאשר המעבר האחרון נובע מ-$(1)$. כעת, כיוון שאנו יודעים כי ${\vec {a}}=a_{T}\cdot {\hat {T}}+a_{N}\cdot {\hat {N}}$, נובע כי: $a_{N}\cdot {\hat {N}}=\|{\vec {v}}\|\cdot ({\frac {d}{dt}}{\hat {T}})$ או: $(2)\ \ \ {\frac {d}{dt}}{\hat {T}}={\frac {a_{N}}{\|{\vec {v}}\|}}\cdot {\hat {N}}$ לסיכום: בכל רגע ורגע, התאוצה המשיקית ($a_{T}$) משפיעה רק על גודלה של המהירות $(1)$, והתאוצה הניצבת ($a_{N}$) משפיעה רק על כיוונה של המהירות $(2)$.

תאוצה רדיאלית

ערך מורחב – תנועה מעגלית

מקרה בולט בו ההפרדה בין שני רכיבי התאוצה היא משמעותית הוא בתנועה מעגלית קצובה: גוף נע במעגל במהירות משיקית קבועה. אמנם גודל המהירות נשאר קבוע, אך כיוון המהירות משתנה בכל רגע ורגע, ומכאן שיש לגוף תאוצה. תאוצה זו מכוונת כלפי מרכז המעגל (במקביל לרדיוס), ולכן היא קרויה "תאוצה רדיאלית". נוהגים לעיתים לסמן את התאוצה הרדיאלית בסימן $a_{r}$.

גודלה של התאוצה הרדיאלית הוא ${\frac {v^{2}}{r}}$, כאשר $v$ הוא גודלה של המהירות המשיקית, ו-$r$ הוא רדיוס הסיבוב.

תאוצת קרקע מקסימלית

הדגמה של תאוצת קרקע מקסימלית ברעידת האדמה במקסיקו סיטי ב-1985. העקומה העליונה מתארת את תאוצת הקרקע בעיר המודרנית שמגיעה למקסימום של כ־0.8 ג'י בזמן מחזור של 2 שניות (בתדר 0.5 הרץ). העקומה התחתונה מתארת את תאוצת הקרקע בעיר העתיקה ששוכנת על סלע וולקני צפוף וקשה, כשהתאוצה בעלת 2 מקסימות שאינן משמעותיות ביחס לתאוצות האחרות שם בתדרים אחרים.

מדובר בפרמטר חשוב ביותר בהנדסת מבנים לבנייה עמידה בפני רעידות אדמה והערכת סיכונים סייסמיים. רעידת אדמה יוצרת תאוצות קרקע בכל אתר שאליו מגיעים הגלים הסייסמיים הנוצרים בעת התרחשותה. תאוצת קרקע קיימת בכל שלושת הרכיבים: שני רכיבים אופקיים (תנועת צפון-דרום ומזרח-מערב), ורכיב שלישי שהוא אנכי (מעלה-מטה). התאוצה האופקית גבוהה יותר בדרך כלל מהתאוצה האנכית. תאוצת הקרקע המקסימלית היא זו שבאה לידי ביטוי על ידי המשרעת המקסימלית ברישום מד התאוצה המוצב באתר. תאוצה מקסימלית זו היא חשובה מאוד, מכיוון שמבנים הבנויים באתר מגיבים לרוב לרמה זו של תאוצה באמצעות "יצירת הנזקים". על כן התקן לבנייה עמידה בפני רעידות אדמה בישראל ובעולם כולו, מתייחס לתאוצת הקרקע המקסימלית הצפויה באתר, ושכנגדה יש לתכנן את עמידות המבנה. תאוצת הקרקע באתר נתון תלויה במספר משתנים, כמו המרחק ממוקד הרעידה, התשתית הגאולוגית ועוד. תאוצת הקרקע נמדדת בערכים של חלקי כוח ג'י (ראו להלן). לתאוצת הקרקע המקסימלית קיים מתאם ברמה גבוהה למשתנה של העוצמה הסייסמית הנצפית או החזויה באתר.

כוח מדומה

החוק השני של ניוטון מתקיים אך ורק במערכת הנעה במהירות קבועה (מערכת אינרציאלית). כאשר מתבוננים על תנועתו של גוף ממערכת מואצת, נדמה כאילו פועלים עליו כוחות נוספים, מלבד הכוחות הפיזיקליים המוכרים. כוחות שכאלו נקראים כוחות מדומים (או: כוחות ד'אלמבר), והם שווים בגודלם למכפלת מסת הגוף בתאוצת המערכת, והפוכים בכיוונם לכיוונה של התאוצה.

כלומר:

$\Sigma {\vec {F}}-m{\vec {a}}'=m{\vec {a}}$

כאשר ${\vec {a}}'$ היא תאוצת המערכת, ו-${\vec {a}}$ היא תאוצת הגוף ביחס למערכת. ניתן לחשוב על כוחות אלו כעל תיקון לחוק השני, כך שיתקיים גם במערכות מאיצות.

דוגמה יום-יומית לכוח מדומה כזה ניתן לחוש בזמן נסיעה ברכב, כאשר הוא משנה את מהירותו. כאשר הרכב מאיץ קדימה, הנוסעים מרגישים כאילו הם נדחפים אל תוך המושב, וכאשר הרכב מאט, הנוסעים מרגישים כאילו הם נדחפים קדימה. דוגמה נוספת היא הכוח הצנטריפוגלי, שניתן להרגיש כשנמצאים במערכת מסתובבת (למשל: קרוסלה). בקרוסלה, אנו מרגישים את התאוצה הרדיאלית המאפשרת את הסיבוב כאילו היא כוח שדוחף אותנו החוצה.

אלברט איינשטיין פיתח רעיון זה בתורת היחסות הכללית לעקרון השקילות, הקובע כי לא ניתן להבדיל בין תנועה בתאוצה קבועה לבין תנועה בשדה כבידה. כלומר, לפי עיקרון זה, ניתן לחשוב על מערכת שבה פועלת כבידה על גוף כעל מערכת לא-אינרציאלית, בה הכבידה היא כוח מדומה.

כוח ג'י

גופים בנפילה חופשית בהשפעת הכבידה של כדור הארץ מאיצים בקצב של כ-9.8 מטר-לשנייה-בריבוע, סמוך לגובה פני הים. נהוג להשתמש בערך זה כיחידת תאוצה ולסמנה באות $g$ (תאוצת הכובד). לעיתים, מכנים יחידה זו בשם "כוח ג'י", על אף שהיא אינה יחידת כוח.

יחידת התאוצה $g$ אינה שייכת למערכת היחידות הבין-לאומית (SI), והיא משמשת בעיקר בתעופה: כאשר בודקים את השפעת התאוצה על מבנה המטוס ועל הטייס ואת הכוחות המופעלים עליהם בזמן הטיסה, נהוג לציין (למשל) "$3g$", "$2g$" וכן הלאה, כאשר הכוונה היא לכפולות המתאימות של 9.8 מטר-לשנייה-בריבוע.

השימוש ביחידת התאוצה g מקובל מאוד גם בסייסמולוגיה, כדי לתאר את רמת תאוצות הקרקע המתרחשת באתר נתון כתוצאה מפעולת הגלים הסייסמיים עליו. תאוצת הקרקע המקסימלית המתרחשת באתר, היא הגורם הישיר לנזקים למבנים שניצבים בו.

ראו גם

• מהירות
• נתירה
• מד תאוצה

קישורים חיצוניים

• תאוצה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• "תאוצה", באתר איתן
• חיים ברק, מהו כוח g?, במדור "שאל את המומחה" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 24 באפריל 2010
• תאוצה, באתר MathWorld (באנגלית)