כוח צנטריפטלי

כוח צנטריפטלי או כח ממרכז הוא תנאי על כוח, הגורם לגוף לנוע במסלול מעגלי המכוון לכיוון המרכז.

איור 1: כדור קשור בחבל לציר סיבוב - הכוח הצנטריפטלי מופעל על ידי החבל על הכדור על מנת לשמור אותו במסלולו המעגלי.

כל גוף הנתון להשפעתם של כוח אחד או יותר, משנה את מהירותו בקצב שהוא מתכונתי לשקול הכוחות הפועלים עליו (החוק השני של ניוטון). קצב זה מוגדר כתאוצת הגוף. מאחר שמהירות היא גודל וקטורי, הרי שהיא עשויה להשתנות בגודלה, בכיוונה או בשניהם (שינוי וקטוריאלי). במקרה המיוחד שבו על הגוף פועלים כוחות שהשקול שלהם ניצב לווקטור המהירות, גודלה של המהירות לא משתנה, אלא כיוונה בלבד. מסלולו של הגוף במקרה כזה הוא מסלול מעגלי. כפי שרואים באיור, וקטור המהירות מכוון בכיוון המשיק למסלול המעגלי בכל נקודה ונקודה, ווקטור הכוח השקול מכוון אל מרכז המעגל, כלומר בכיוון הרדיוס. משום כך שקול כוחות זה מכונה 'כוח צנטריפטלי', שמשמעו 'שואף אל המרכז' (מלטינית: 'centrum' - 'מרכז', 'petere' - 'שואף אל'), והתאוצה המתאימה (שנמצאת, כאמור, ביחס ישר אליו) מכונה תאוצה צנטריפטלית או תאוצה רדיאלית. מכאן ברור שהכוח הצנטריפטלי איננו סוג מסוים של כוח אלא דרישה או תנאי על כוח או כוחות כדי שיתקבל מסלול מעגלי.

לשם השוואה, במקרים בהם שקול הכוחות הוא בכיוון המהירות או מנוגד לה, מהירות הגוף תשתנה בגודלה בלבד, ומסלול הגוף יהיה קו ישר. במקרים אחרים, בהם מהירות הגוף משתנה הן בגודלה והן בכיוונה, יש לשקול הכוחות גם רכיב בכיוונה של המהירות (או בכיוון מנוגד) - רכיב משיקי, וגם רכיב בניצב לה - רכיב ניצב, מה שמניב מסלול שהוא שילוב של תנועה קווית ותנועה מעגלית. נוח לפתור מערכת כזאת בקואורדינטות קוטביות, מפני שבהן ציר אחד הוא הציר הרדיאלי, והציר השני הוא הציר המשיקי.

תנועה במעגל אנכי

תנועה במעגל אנכי היא תנועה המתרחשת כאשר הגוף נע בתנועה מעגלית במישור המאונך לפני הקרקע. דוגמה לכך היא תנועת 'רכבת הרים' לאורך מסילה מעגלית זקופה. דוגמה אחרת היא מטוס הנחלץ מצלילה על ידי כניסה ללולאה מעגלית זקופה.

גם במקרה של רכבת הרים שבה רדיוס המסלול קבוע (מסילה קשיחה), עדיין הכוח הצנטריפטלי איננו קבוע. עובדה זו ניתנת להסבר על ידי שימור האנרגיה המכנית במהלך תנועתה של הרכבת, שכן מהירותה הולכת ופוחתת עם העלייה, ועולה כשהגוף יורד, גם כאשר רדיוס המסלול ומסת הגוף המסתובב לא משתנים (ראו הביטוי לכוח הצנטריפטלי).

השינוי בגודל של מהירות הגוף מלמד גם על קיומו של כוח משיקי הפועל על הגוף. את העובדה הזאת ניתן להסיק גם מניתוח הכוחות הפועלים על הגוף במהלך תנועתו. הכוח הצנטריפטלי בתנועה זו מורכב משני כוחות: הכוח הנורמלי, המכוון פנימה לאורך רדיוס המסלול ולכיוון מרכזו (במקרה בו התנועה היא לאורך צידה הפנימי של המסילה המעגלית), והרכיב הרדיאלי של כוח הכובד הפועל על קרוניות הרכבת. גודלו הרגעי של רכיב זה תלוי בזווית שבין וקטור כוח הכובד לבין כיוון רדיוס המסלול באותה נקודה. רכיבו השני של כוח הכובד, מכוון לאורך המשיק המתאים לכל נקודה על המסלול, בהתאם לפירוק המתואר לציר רדיאלי ולציר משיקי. רכיב משיקי זה של כוח הכובד מקנה לגוף המסתובב תאוצה משיקית, כלומר מהירותו הקווית משתנה מנקודה לנקודה לאורך המסילה, כפי שהבנו גם משיקולי אנרגיה.

ישנו ערך מינימלי למהירות ההתחלתית של הגוף המסתובב כדי שיוכל לעבור את הנקודה העליונה של מסלולו ולהשלים סיבוב. אם מהירותו ההתחלתית מתחת לערך זה לא יוכל הגוף להשלים סיבוב מעגלי מלא. ערך זה קרוי מהירות קריטית, והוא מתקבל באופן הבא. גודלו של הכוח הצנטריפטלי בנקודה זו הוא: $\ F_{c}=N_{\mathrm {top} }+mg$, ולכן, לפי החוק השני של ניוטון ובעזרת הביטוי לכוח הצנטריפטלי, מקבלים את הקשר $\ N_{\mathrm {top} }+mg=m{\frac {v^{2}}{R}}$, כאשר הערך המינימלי של F_c שיאפשר סיבוב מלא מתקבל עבור מצבים בהם N = 0, כלומר $\ v_{\mathrm {critical} }={\sqrt {Rg}}$ .

קבלת הביטוי לתאוצה הצנטריפטלית בגישה גאומטרית

המעגל השמאלי באיור 2 מתאר גוף הנע במסלול מעגלי במהירות קבועה בארבעה זמנים שונים במהלך ההקפה המסלולית שלו, כאשר וקטור המיקום שלו נתון על ידי R ווקטור המהירות שלו על ידי v. כאמור, וקטור המהירות v ניצב תמיד לווקטור המיקום (וקטור המהירות הרגעי הוא בכיוון המשיק למסלול בנקודה בה נמצא הגוף, בהיות המשיק ניצב לרדיוס המסלול המעגלי). מכאן שהזמן הדרוש לווקטור R לבצע הקפה שלמה (זמן המחזור של התנועה) הוא בדיוק הזמן הדרוש לווקטור v לבצע הקפה שלמה אחת (וקטורים צמודים). תנועת ההקפה של הווקטור v מוצגת במעגל הימני באיור 2, בצמוד לווקטור a_R.

איור 2: וקטורי המיקום והמהירות נעים שניהם במסלול מעגלי.

נבטא כעת את זמן מחזור זה פעמיים, פעם אחת עבור וקטורי R ו-v, ופעם שנייה עבור צמד הווקטורים v ו-a_R, בהתאמה, ונשווה ביניהם. מאחר שגודלה של מהירות ההקפה (המהירות המשיקית) ניתן על ידי אורך המסלול המעגלי מחולק בזמן המחזור, נקבל במקרה הראשון

$T={\frac {2\pi R}{v}}$

ובמקרה השני, באמצעות אנלוגיה (וקטור v מחליף את וקטור R, ו-a_R מחליף את v - ראו המעגל הימני באיור 2), נקבל

$T={\frac {2\pi v}{a}}$

מהשוואת שני ביטויים אלה עבור זמן המחזור נקבל לבסוף

$a={\frac {v^{2}}{R}}$

התבוננות בשני המעגלים באיור 2 מראה שווקטור התאוצה מכוון אל מרכז המעגל שרדיוסו R. לדוגמה, במעגל השמאלי באיור זה, וקטור המיקום מצביע לכיוון השעה 12 כשווקטור המהירות שלו מצביע לכיוון השעה 9, כשווקטור התאוצה הרדיאלית של האחרון (עבור למעגל הימני) מצביע בכיוון השעה 6, כך שבעצם וקטור התאוצה הרדיאלית מצביע בכיוון מנוגד לזה של וקטור המיקום, כלומר כלפי מרכז המסלול המעגלי.

קבלת הביטוי לתאוצה הצנטריפטלית באמצעות חשבון דיפרנציאלי

הגישה שתוארה קודם הייתה פשוטה והיוריסטית. להשלמת הדיון נתאר עתה את הגישה הישירה לפיתוח הביטוי לתאוצה הצנטריפטלית (או הרדיאלית), כלומר באמצעות גזירה כפולה של הפונקציה המתארת את מיקום הגוף המסתובב בתלות בזמן. הנגזרת הראשונה מבטאת את קצב השינוי של וקטור המיקום של הגוף, כלומר את מהירות הגוף, והנגזרת השנייה מבטאת את קצב השינוי של וקטור מהירות הגוף (שגודלה קבוע). לשם כך, נשתמש במערכת קואורדינטות קוטביות המתאימה לתיאור תנועה שאינה בקו ישר, נניח שרדיוס המסלול קבוע (מעגל) ונגזור את הביטוי למיקום הגוף פעמיים.

נתאר את מיקומו של גוף נקודתי כפונקציה של הזמן באמצעות R(t). מאחר שמדובר בתנועה מעגלית, נוכל לכתוב R(t) = r·u_r, כאשר r הוא קבוע (רדיוס המעגל) ו-u_r הוא וקטור יחידה המכוון מהראשית (מרכז המעגל במקרה שלנו) אל מיקומו של הגוף. כיוון הווקטור מבוטא על ידי θ, שהיא הזווית בין כיוון הווקטור לבין ציר x (כשזווית חיובית מוגדרת על ידי סיבוב נגד כיוון השעון ביחס לכיוון החיובי של ציר x). במונחים של וקטורי יחידה קרטזיים i ו-j (בכיוון x ובכיוון y, בהתאמה) נקבל: :u_r = cos(θ)i + sin(θ)j .

נגזור לפי הזמן פעם אחת, כדי לקבל את מהירות הגוף:

$\mathbf {v} =r{\frac {d\mathbf {u_{r}} }{dt}}\,$

$\mathbf {v} =r{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {u_{\theta }} \,$

$\mathbf {v} =r\omega \mathbf {u_{\theta }} \,$

כש-ω היא המהירות הזוויתית המוגדרת על ידי dθ/dt, ו-u_θ הוא וקטור יחידה הניצב ל-u_r ומצביע בכיוון שבו θ גדלה. הביטוי לוקטור יחידה זה במונחים קרטזיים הוא

u_θ = −sin(θ)i + cos(θ)j .

נגזור עתה שוב, תוך תשומת לב לכך ש- ${\frac {d\mathbf {u_{\theta }} }{dt}}=-{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {u_{r}} \,$

ונקבל את התאוצה השקולה של הגוף, a: $\mathbf {a} =r\left({\frac {d\omega }{dt}}\mathbf {u_{\theta }} -\omega ^{2}\mathbf {u_{r}} \right)\,$ ,

כשגודלו של הרכיב הרדיאלי שלה, כלומר גודלה של התאוצה הרדיאלית המבוקשת, a_R, הוא $\mathbf {a} _{\mathrm {r} }=-\omega ^{2}r\,$ .

דוגמאות

מטוטלת חרוטית

כאשר מסובבים גוף נקודתי הקשור לקצה חוט סביב ציר אנכי, הכוח הצנטריפטלי מסופק על ידי הרכיב האופקי של המתיחות בחוט והוא מכוון אל מרכז המעגל, שנמצא על ציר הסיבוב (במקרה של גוף שאינו נקודתי, הכוח הצנטריפטלי מכוון אל מרכז המסה של המערכת).

גופים מסתחררים

במקרה של גוף מסתחרר (כלומר מסתובב סביב ציר העובר דרך הגוף עצמו), הכוח הצנטריפטלי מסופק על ידי מאמצי מתיחה פנימיים בין חלקיקי החומר המרכיבים את הגוף. כוחות אלה הם ששומרים על הגוף לבל יתפרק.

תנועת לוויינים

כוכבי-לכת וירחים הם דוגמאות ללוויינים. דוגמאות אחרות הן לוויינים מלאכותיים ששוגרו למטרות שונות. בכל המקרים הללו הכוח הצנטריפטלי מסופק על ידי כוח הכבידה בין כוכב האם (השמש או כוכב-לכת) לבין לווייניו (כוכבי-הלכת סביב השמש או ירחים ולוויינים מלאכותיים סביב כוכב-לכת), המכוון אל מרכז המסה של המערכת. מסלולי כוכבי-הלכת סביב השמש הם רק בקירוב מעגליים (מסלולי ההקפה הממשיים הם אליפסות בעלות אקסצנטריות נמוכה, בהתעלם מההשפעה ההדדית בין כוכבי-לכת שכנים).

רכבות הרים (במתקני שעשועים)

ברכבת הרים הכוח הנורמלי שמפעילה המסילה על הרכבת הוא שמחזיק את הרכבת במסלולה המעגלי, ובכך מונע מהרכבת להמשיך לנוע בכיוון התנועה שלה הרחק מהמעגל.

לולאה מעגלית במסלולה של רכבת ההרים 'טורנדו' בפארק השעשועים 'הלנדורן', הולנד

מטענים חשמליים הנעים בשדה מגנטי

כאשר מטען חשמלי נע בשדה מגנטי, פועל עליו כוח בניצב למישור עליו נמצאים וקטור המהירות שלו ווקטור השדה המגנטי (כוח לורנץ). מאחר שכוח זה ניצב לווקטור המהירות, הוא מהווה כוח צנטריפטלי, שגורם למטען לנוע בשדה המגנטי במסלול מעגלי. תופעה זו מיושמת בדרכים שונות, למשל בספקטרומטר מסות. מכשיר זה מבוסס על העובדה שרדיוס המסלול של החלקיקים הטעונים תלוי במסה שלהם, מה שמאפשר להשתמש בו להפרדת איזוטופים.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא כוח צנטריפטלי בוויקישיתוף

• ארז גרטי, כוחות המעורבים בתנועה מעגלית, במדור "מאגר המדע" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 2 ביולי 2011