למת רימן-לבג

במתמטיקה, לֶמת רימן־לבג, על שם המתמטיקאים ברנהרד רימן ואנרי לבג, קובעת כי התמרת פורייה או התמרת לפלס של פונקציה ממרחב L¹ מתאפסת באינסוף. ללֶמה חשיבות רבה באנליזה הרמונית.

הלֶמה

בהינתן $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ פונקציה מדידה, שהיא L¹ (כלומר: אינטגרל לבג של $|f|$ הוא סופי), אזי: $$\lim _{z\to \pm \infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-izx}\,\mathrm {d} x\right]=0$$

כלומר, התמרת פורייה של $f$ שואפת ל-$0$ כאשר $z$ שואף לאינסוף.

לֶמה מקבילה

תהא $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ פונקציה רציפה למקוטעין בקטע [L,L-], ויהיו A_n ו-B_n מקדמי טור פורייה שלה. אזי:

$$\lim _{n\to \pm \infty }A_{n}=\lim _{n\to \pm \infty }B_{n}=0$$ניתן להכליל את הלֶמה של רימן-לבג לפונקציות אינטגרבליות ולאו דווקא רציפות.

הוכחה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

הוכחה עבור פונקציות רציפות ומחזוריות $2\pi$ לכל $\varepsilon >0$ קיים פולינום טריגונומטרי$p(x)$ כך ש- $\forall x,|p(x)-f(x)|<\varepsilon$ נובע מיידית ממשפט פייר כיוון שממוצע סאזרו הוא פולינום טריגונומטרי לכל $f$ (מקדמי פורייה של פולינום טריגונומטרי מקיימים: $\lim _{|n|\to \infty }{\widehat {f}}(n)=0$).

קישורים חיצוניים

• למת רימן-לבג, באתר MathWorld (באנגלית)