מודול אי-פריד

במתמטיקה, מודול אי-פריד הוא מודול שאינו מתפרק לסכום ישר של שני תת-מודולים. מודולים אלה הם אבני היסוד של תורת ההצגות של אלגברות. כל מודול ארטיני או נתרי הוא סכום ישר של מספר סופי של מודולים אי-פרידים. מודול בעל אורך סופי אפשר לפרק לסכום ישר של מודולים אי-פרידים באופן יחיד עד כדי סדר (משפט קרול-רמק-שמידט).

מודולים אי-פרידים שהם אינג'קטיביים אפשר לתאר באמצעות האידיאלים הראשוניים של החוג.

טיפוס ההצגות של אלגברה

לחוג ארטיני יש מספר סופי של מודולים פשוטים (עד כדי איזומורפיזם). זהו גם מספרם של המודולים האינג'קטיביים האי-פרידים, ושל המודולים הפרויקטיביים האי-פרידים. עם זאת, מספרם של המודולים האי-פרידים עשוי להיות אינסופי.

אומרים שלאלגברה יש טיפוס הצגות סופי אם יש לה מספר סופי של מודולים אי-פרידים מממד סופי. לדוגמה, כל אלגברה פשוטה למחצה היא בעלת טיפוס הצגות סופי. לפי משפט Auslander, כל מודול אי-פריד של אלגברה סוף-ממדית מטיפוס סופי הוא מממד סופי. לפי משפט Roiter, אם האורך של מודולים אי-פרידים של אלגברה סוף-ממדית הוא חסום, אז היא מטיפוס סופי.

לאלגברה יש טיפוס הצגות מבוית (tame) אם לכל $n$ , כל ההצגות האי-פרידות מממד $n$ שייכות למספר סופי של משפחות חד-פרמטריות. (הגדרה זו כוללת גם את האלגברות בעלות טיפוס סופי). הדוגמה היסודית היא חוג הפולינומים במשתנה אחד, בהתאמה למיון של העתקות ליניאריות לפי צורות ז'ורדן. גם ל- $k[x,y]/\langle x^{2},y^{2}\rangle$ יש טיפוס הצגות מבוית (קרונקר, 1896; תורת ההצגות שקולה למיון של זוגות מטריצות עד כדי שקילות^[1] סימולטנית).

לאלגברה $A$ יש טיפוס הצגות פראי (wild) אם תורת ההצגות שלה אינה כריעה חישובית. במקרה זה קטגוריית ההצגות של כל אלגברה מממד סופי משוכנת בזו של $A$ , כך שאין תקווה למיין את ההצגות של $A$ . לדוגמה, לאלגברה $D=k[x,y]/\langle x^{2},xy^{2},y^{3}\rangle$ יש טיפוס הצגות פראי, וממילא כך גם לאלגברה החופשית ולאלגברת הפולינומים (בשני יוצרים או יותר), שהרי $D$ היא מנה שלהם. לכל אלגברה מממד סופי יש טיפוס הצגות סופי, מבוית או פראי (Drozd, 1977).

טיפוס ההצגות של אלגברת חבורה

לאלגברת חבורה $F[G]$ יש טיפוס הצגות סופי אם ורק אם המאפיין הוא אפס, או שהמאפיין הוא $p$ ותת-חבורות p-סילו של $G$ הן ציקליות. אם $F$ אינסופי, ל- $F[G]$ יש טיפוס הצגות מבוית אם ורק אם המאפיין הוא 2, ותת-חבורות 2-סילו הן ציקליות, דיהדרליות, דיהדרליות-למחצה^[2] או קווטרניונים מוכללים (Higman).

טיפוס ההצגות של אלגברת קוויבר

מסיבות היסטוריות, גרף מכוון (עם לולאות וקשתות מרובות) נקרא בתורת ההצגות קוויבר (quiver). אלגברת הקוויבר היא המרחב הנפרש על ידי כל המסלולים בגרף (לרבות מסלולים באורך 0, היינו קודקודים), עם פעולת הכפל על ידי הדבקת מסלולים (אם המסלולים אינם ממשיכים זה את זה, מכפלתם אפס). אלו אלגברות בסיסיות (כל מודול פשוט הוא חד-ממדי). כל אלגברה מממד סופי שקולת-מוריטה למנה של אלגברת קוויבר.

משפט גבריאל (1972) ממיין את טיפוס ההצגות של אלגברות קוויבר: לאלגברה $FQ$ יש טיפוס הצגות מבוית אם ורק אם (כאשר שוכחים את כיווני החצים) $Q$ הוא איחוד זר של גרפים שהם דיאגרמות דינקין מהטיפוסים $A_{n}$ , $B_{n}$ , או $E_{n}$ (עבור $n=6,7,8$ ).

קישורים חיצוניים

מודול אי-פריד, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

^ A,B שקולות אם יש P,Q הפיכות כך ש-B=PAQ
^ חבורה דיהדרלית למחצה מסדר $N=2^{n}$ מיוצגת כך: $\langle \sigma ,\tau \,|\,\sigma ^{N/2}=\tau ^{2}=1,\,\tau \sigma \tau ^{-1}=\sigma ^{N/4}\sigma ^{-1}\rangle$

[1] A,B שקולות אם יש P,Q הפיכות כך ש-B=PAQ

[2] חבורה דיהדרלית למחצה מסדר $N=2^{n}$ מיוצגת כך: $\langle \sigma ,\tau \,|\,\sigma ^{N/2}=\tau ^{2}=1,\,\tau \sigma \tau ^{-1}=\sigma ^{N/4}\sigma ^{-1}\rangle$

[1]

[2]