מודל מקסוול גרנט

מודל מקסוול גרנט הוא מודל פיזיקלי, המתאר את המקדם הדיאלקטרי של תערובת המורכבת משני חומרים, בעלי מקדם דיאלקטרי שונה, כל זמן שניתן להתייחס אל אחד החומרים כמארח ולשני כמתארח, אילוח או זיהום. מודל זה מכונה גם לעיתים "נוסחת מקסוול גרנט" או "כלל הערבוב של מקסוול גרנט". עיקר חשיבותו של מודל זה בפיזיקה בת ימינו, היא באפיון המקדם הדיאלקטרי של תרכובות ננומטריות (nano-composites). תרכובות אלו, הן למעשה חומר אשר בתוכו מפוזרים ננו-גבישים.

הטופולוגיה של תערובת במודל מקסוול גרנט. התנאי הבסיסי לתקפות המודל הוא a<<b<<λ

המודל הוצג בשנת 1904 על ידי ג'יימס קלרק מקסוול גרנט, פיזיקאי בריטי הנקרא על-שם הפיזיקאי הנודע ג'יימס קלרק מקסוול. אביו של מקסוול גרנט, ויליאם גרנט, היה פרופ' לפיזיקה ועבד יחד עם מקסוול במעבדות קוונדיש בהן עבד מקסוול בסוף ימיו. לאות התפעלות ממקסוול, קרא וויליאם לבנו על שמו.

המודל והנחותיו

המודל נכנס תחת הקטגוריה של effective medium approximation, ‏ מודלים המספקים קירוב של תכונה מאקרוסקופית אפקטיבית לתווך מורכב. מודל מקסוול גרנט דן במקרה ובו ישנו תווך הומוגני, אשר מפוזרים בו בצורה הומוגנית ואיזוטרופית, מזהמים כדוריים מחומר אחר. המודל מספק את המקדם הדיאלקטרי האפקטיבי של תערובת כזו, תחת מספר הנחות:

• הרדיוס של הכדורים (המסומן ב-a) הרבה יותר קטן מהמרחק האופייני בין הכדורים (המסומן ב-b).
• המרחק האופייני בין הכדורים הרבה יותר קטן מאורך הגל של השדה האלקטרומגנטי (המסומן ב-λ) שלגביו מעוניינים במקדם הדיאלקטרי.
• סף תקפות המודל: ישנן דעות שונות לגבי השאלה מתי המודל תקף. ישנם המגדירים שהשבר הנפחי של המזהמים מכלל הנפח של התערובת קטן מ-20% וישנם אשר מסתפקים בהגדרה "שבר נפחי קטן".

ע"פ המודל, תחת התנאים האלה המקדם הדיאלקטרי האפקטיבי יהיה: $\varepsilon _{eff}\,=\,\varepsilon _{m}\,{\frac {\varepsilon _{i}(1+2\delta )-\varepsilon _{m}(2\delta -2)}{\varepsilon _{m}(2+\delta )+\varepsilon _{i}(1-\delta )}}$

כאשר $\varepsilon _{eff}$ הוא המקדם הדיאלקטרי האפקטיבי, $\varepsilon _{i}$ המקדם הדיאלקטרי של החומר ממנו עשויים המזהמים, $\varepsilon _{m}$ המקדם הדיאלקטרי של החומר המארח ו-$\delta$ הוא השבר הנפחי.

הרחבות למודל

לקראת סוף המאה העשרים, החלה התפתחות רבה בייצור ננו-גבישים בצורה מבוקרת, מבחינת הגודל והצורה ועוד. התפתחות זו גרמה ל"תהילה מחודשת" של מודל מקסוול גרנט עקב הרלוונטיות המחודשת שלה. עקב כך פותחו מודלים מורחבים למקרים מורכבים יותר:

• מודל לא ליניארי - מודל מורחב המספק את הסוספטיביליות החשמלית מסדרים גבוהים יותר, כאשר אחד החומרים (המארח או המזהמים) או שניהם אינם ליניאריים מבחינה אופטית (ראה - אופטיקה לא ליניארית).
• מודל לא איזוטרופי - מודל מורחב המספק את המקדם הדיאלקטרי במקרה שבו המזהמים אינם כדוריים.

לקריאה נוספת

• המאמר המקורי של מקסוול גרנט: J.C.M. Garnett, "Colours in metal glasses and in metallic films", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Vol. 203, pp. 385-420, 1904
• סוספטביליות לא ליניארית: R.W. Boyd, J.E. Sipe, "Nonlinear Susceptibility of Composite Optical Materials in the Maxwell Garnett Model", Physical Review A, Vol. 46, august 1992,
• סקירה על כל הנושא כולל על מזהמים לא איזוטרופיים: Ari Sihvola, Electromagnetic Mixing Formulas and Applications, Institution of Electrical Engineers in London ,1999