מטריצה צמודה

באלגברה ליניארית, מטריצה צמודה למטריצה מרוכבת $A$ היא המטריצה המתקבלת משחלוף השורות והעמודות והצמדה של רכיבי המטריצה. דהיינו, בשורה ה-$i$ ובעמודה ה-$j$ של המטריצה הצמודה מופיע הצמוד המרוכב של הערך מן השורה ה-$j$ והעמודה ה-$i$ של המטריצה המקורית. בפרט, עבור מטריצות ממשיות, המטריצה הצמודה אינה אלא המטריצה המשוחלפת. כלומר, עבור מטריצה $A$ המטריצה הצמודה $A^{*}$ מקיימת:

$(A^{*})_{ij}={\overline {A_{ji}}}$

למטריצה זו קוראים גם "צמוד הרמיטי" וסימונים נוספים עבורה הם:

$A^{\dagger }=A^{H}=A^{*}:={\bar {A}}^{\top }={\bar {A}}^{T}={\overline {A^{T}}}$

כאשר הסימון השמאלי ביותר (קרי: "A דאגר") נפוץ בעיקר בפיזיקה קוונטית.

ההצמדה היא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג שני. מטריצה ריבועית שפעולת ההצמדה אינה משנה אותה נקראת מטריצה הרמיטית.

תכונות

• $(T^{*})^{*}=T$
• אדיטיביות - $(T+S)^{*}=T^{*}+S^{*}$ ׁ
• $(\alpha T)^{*}={\bar {\alpha }}T^{*}$
• $(T^{*})^{-1}=(T^{-1})^{*}$ (ובפרט, כל אגף מוגדר אם ורק אם השני מוגדר)
• $(TS)^{*}=S^{*}T^{*}$

דוגמאות

• ${\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{*}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}$
• ${\begin{bmatrix}1+i&2\\3i&4i\end{bmatrix}}^{\mathrm {*} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1-i&-3i\\2&-4i\end{bmatrix}}$
• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{*}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;$

ראו גם

• אופרטור צמוד - העתקה ליניארית אנלוגית

קישורים חיצוניים

• מטריצה צמודה, באתר MathWorld (באנגלית)