מידה משותפת

במתמטיקה, קיומה של מידה משותפת היא תכונה המאפשרת להשוות בין שני קטעים, שני מספרים או שני מבנים מופשטים (כמו חבורות או מודולים).

קיומה של מידה משותפת בין הקטעים $a$ ו-$b$ פירושו שקיים קטע $z$ (ממשי), כך שגם $a$ וגם $b$ ניתנים להרכבה ממספר שלם של עותקים של $z$. במילים אחרות, היחס בין אורכי הקטעים הוא מספר רציונלי. המונח מופיע לראשונה בספר "יסודות" של אוקלידס. באופן דומה, שני מספרים ממשיים הם בעלי מידה משותפת אם היחס ביניהם הוא רציונלי. הקטעים $a$ ו-$b$ הם בעלי מידה משותפת (כקטעים) אם ורק אם האורכים שלהם בעלי מידה משותפת (כמספרים).

לשאלת המידה המשותפת חשיבות מסוימת עבור פונקציות מחזוריות: אם $a$ ו-$b$ הם מחזורים של אותה פונקציה, אז ניתן להסביר את שניהם באמצעות מחזור אחד, קטן יותר, בדיוק כאשר הם בעלי מידה משותפת.

קיומם של מספרים אי רציונליים מוכיח כי ישנם קטעים חסרי מידה משותפת. למשל, במשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים, אין מידה משותפת לניצב וליתר, משום שלפי משפט פיתגורס היחס ביניהם הוא ${\sqrt {2}}$, ומספר זה אינו רציונלי.

מידה משותפת באלגברה מופשטת

בתורת החבורות, לשתי תת חבורות $G_{1},G_{2}$ של חבורה $G$ יש מידה משותפת (באנגלית: commensurable) אם לחיתוך $G_{1}\cap G_{2}$ יש אינדקס סופי בכל אחת מהן. זוהי הכללה של המושג המקביל למספרים ממשיים, משום שהמספרים $a$ ו-$b$ הם בעלי מידה משותפת אם ורק אם תת-החבורות $\{na:n\in \mathbb {Z} \}$ ו-$\{nb:n\in \mathbb {Z} \}$ של שדה המספרים הממשיים (כחבורה חיבורית) הן בעלות מידה משותפת. מקיומה של מידה משותפת נובע שהחבורות הן דמוי-איזומורפיות (יש להן תת-חבורות מאינדקס סופי שהן איזומורפיות זו לזו), אבל באופן כללי ההפך אינו נכון. לחבורות נוצרות סופית בעלות מדה משותפת יש גרפי קיילי קוואזי-איזומטריים (אבל יש חבורות קוואזי-איזומטריות שאינן בעלות מדה משותפת). ראו קוואזי-איזומטריה של חבורות להשלכות של תכונה זו.

הגדרה דומה תקפה עבור תת-מודולים: $M_{1},M_{2}$ הם בעלי מידה משותפת אם לחיתוך $M_{1}\cap M_{2}$ יש אינדקס סופי בכל אחד מהם. למשל, אם R הוא חוג דדקינד, אז כל שני תת-מודולים מדרגה מקסימלית של המודול החופשי $R^{n}$ הם בעלי מידה משותפת.

שני מרחבים טופולוגיים, בעלי אותו מרחב כיסוי אוניברסלי, הם בעלי מידה משותפת אם יש להם מרחב כיסוי משותף, בעל אינדקס סופי מעל כל אחד מהם. אם החבורה $G$ פועלת על מרחב פשוט קשר $X$, ו-$G_{1},G_{2}$ הן תת-חבורות, אז מרחבי המנה $X/G_{1}$ ו-$X/G_{2}$ בעלי מידה משותפת אם ורק אם $G_{1}$ בעלת מידה משותפת עם תת-חבורה צמודה ל-$G_{2}$. בהקשרים גאומטריים, נקראת לפעמים תכונה זו "מידה משותפת", אף-על-פי שהיא חלשה יותר מקיום מידה משותפת במובן הקודם בין תת-החבורות.