מידה פריקה

בתורת המידה, מידה פריקה היא מידה שבמובן מסוים ניתנת לפירוק למשפחה של מידות סופיות. עובדה זו מאפשרת להוכיח תכונות מסוימות של מרחב המידה על ידי הוכחתן תחילה תחת ההנחה שהמידה היא סופית ולאחר מכן הרחבתן למקרה של מידה פריקה תוך שימוש בפירוק שלה. פריקות של מידה היא מעין סיגמא־סופיות חלשה.

הגדרה

מידה $\mu$ על מרחב מדיד $\left(X,{\mathcal {M}}\right)$ נקראת פריקה אם קיימת משפחת קבוצות ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {M}}$ בעלת התכונות הבאות:

1. $\mu (F)<\infty$ לכל $F\in {\mathcal {F}}$.
2. משפחת הקבוצות ${\mathcal {F}}$ מהווה חלוקה של $X$, כלומר הקבוצות ב-${\mathcal {F}}$ הן זרות בזוגות ואיחודן הוא $X$.
3. אם $E$ מדידה ו-$\mu (E)<\infty$ אז $\mu (E)=\sum _{F\in {\mathcal {F}}}\mu (E\cap F)$ (במקרה זה, מספר המחוברים באגף ימין השונים מאפס חייב להיות בן מניה).
4. אם $E\subseteq X$ ו-$E\cap F$ היא מדידה עבור כל $F\in {\mathcal {F}}$, אז $E$ מדידה.

כלומר, ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {M}}$ היא חלוקה של $X$ לקבוצות ממידה סופית כך שמידת כל קבוצה ממידה סופית ניתנת לחישוב פשוט על ידי סכימת המידות של חיתוכיה עם הקבוצות ב-${\mathcal {F}}$, ובנוסף כדי לבדוק את מדידותה של קבוצה $E$, די לנו לבדוק שחלקה היחסי מכל קבוצה במשפחה ${\mathcal {F}}$ הוא מדיד. לכן במובן מסוים ניתן להבין מרחב מידה שכזה באופן מקומי, דרך תת־הקבוצות שלו שמידתן סופית.

מרחב מידה $\left(X,{\mathcal {M}},\mu \right)$ שעבורו $\mu$ היא מידה פריקה נקרא מרחב מידה פריק.

דוגמאות

• כל מידה סיגמא-סופית היא פריקה. למעשה, מידה היא סיגמא־סופית אם ורק אם בהגדרה לעיל ניתן לבחור את המשפחה ${\mathcal {F}}$ להיות בת מניה. בפרט, מידת לבג על $\mathbb {R} ^{n}$ היא פריקה.
• יהי $X=\mathbb {R}$ יחד עם הסיגמא־אלגברה הדיסקרטית, כלומר כל קבוצה היא מדידה. נגדיר על מרחב מדיד זה את המידה הסופרת, כלומר $\mu (A)$ שווה למספר האיברים ב-$A$ אם $A$ היא קבוצה סופית ואחרת $\mu (A)=\infty$. אז $\mu$ היא מידה פריקה, על אף שאיננה סיגמא־סופית. אכן, נבחר ${\mathcal {F}}=\left\{\left\{x\right\}:x\in \mathbb {R} \right\}$ ונקבל חלוקה של $\mathbb {R}$ שכל הקבוצות בה הן ממידה סופית. התכונה הרביעית מתקיימת באופן טריוויאלי, כי כל קבוצה במרחב זה היא מדידה, וקל לבדוק שמתקיימת גם התכונה השלישית.
• יהי $X=\mathbb {R}$ יחד עם הסיגמא־אלגברה של קבוצות בורל. למרות הדמיון בין דוגמה זו לדוגמה הקודמת, במרחב זה המידה הסופרת איננה פריקה. אם ${\mathcal {F}}$ היא חלוקה של $\mathbb {R}$ המקיימת את התכונות שבהגדרה, אז בפרט כל הקבוצות ב-${\mathcal {F}}$ הן סופיות. לכן לכל $E\subseteq \mathbb {R}$ ולכל $F\in {\mathcal {F}}$ החיתוך $E\cap F$ הוא מדיד (שהרי הוא קבוצה סופית וכל קבוצה סופית היא קבוצת בורל), אך ידוע שלא כל קבוצה ב-$\mathbb {R}$ היא מדידה בורל. לכן לא קיימת משפחה ${\mathcal {F}}$ כזו.
• אם $G$ היא חבורה קומפקטית מקומית, מידת האר שלה היא מידה פריקה. למרות עובדה כללית זו, אם G אינה סיגמא־קומפקטית, מידת האר שלה אינה סיגמא־סופית.
• אם $\mu$ היא מידת רדון על מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית, ההרוויה של ההשלמה שלה היא מידה פריקה. כלומר, עד כדי "תיקון" קל, מידות רדון על מרחבי האוסדורף קומפקטיים מקומית הן פריקות.

שימושים

משפטים מסוימים בתורת המידה נכונים רק תחת הנחה מסוימת של סיגמא־סופיות, למשל משפט רדון־ניקודים והעובדה ש-$\left(L^{1}\left(\mu \right)\right)^{*}\cong L^{\infty }\left(\mu \right)$ (ראו מרחב Lp). עובדה זו מונעת את הפעלתם של משפטים אלה באופן ישיר על מרחבי מידה שאינם סיגמא־סופיים, בעוד שמרחבים כאלה מופיעים באופן טבעי באפליקציות שונות (למשל, לכל חבורה קומפקטית מקומית שאינה סיגמא־קומפקטית אין מידת האר סיגמא־סופית). עם זאת, עבור מרחבי מידה פריקים ניתן להוכיח הכללות מסוימות של משפטים אלה.

• משפט רדון־ניקודים למרחבי מידה פריקים: יהי $\left(X,{\mathcal {M}},\mu \right)$ מרחב מידה פריק ותהי $\nu$ מידה נוספת על אותו מרחב מדיד אשר רציפה בהחלט ביחס ל-$\mu$. אז קיימת פונקציה מדידה $f:X\to \left[0,\infty \right]$ כך ש-$\nu \left(E\right)=\int _{E}f\,d\mu$ לכל קבוצה מדידה $E$ שהיא סיגמא־סופית ביחס ל-$\mu$. בנוסף, אם ${\mathcal {F}}$ היא משפחת קבוצות מדידות אשר מהווה פירוק ל-$\mu$ כפי שנדרש בהגדרה של מידה פריקה, אז $|f|<\infty$ על כל קבוצה $F\in {\mathcal {F}}$ שהיא סיגמא־סופית ביחס ל-$\nu$. המשפט נכון גם כאשר $\nu$ היא מידה מסומנת או מידה מרוכבת, כאשר במקרים אלה טווח הפונקציה המובטחת $f$ הוא $\left[-\infty ,\infty \right]$ או $\mathbb {C}$, בהתאמה.
• כאשר $\left(X,{\mathcal {M}},\mu \right)$ הוא מרחב מידה פריק (שאינו בהכרח סיגמא־סופי), לרוב מגדירים את $L^{\infty }\left(\mu \right)$ בתור אוסף כל הפונקציות המדידות באופן מקומי אשר חסומות פרט אולי בקבוצה ממידה אפס באופן מקומי, כאשר מזהים פונקציות אשר ההפרש ביניהן שווה לאפס פרט אולי בקבוצה ממידה אפס באופן מקומי. הנורמה של פונקציה $f$ במרחב זה מוגדרת להיות המספר האי־שלילי $c$ הקטן ביותר כך ש-$|f(x)|\leq c$ לכל $x$ מחוץ לקבוצה כלשהי ממידה אפס באופן מקומי. אף על פי שזוהי אינה ההגדרה הסטנדרטית של $L^{\infty }\left(\mu \right)$, עדיין מתקבל מרחב בנך וכאשר $\left(X,{\mathcal {M}},\mu \right)$ הוא סיגמא־סופי מתקבלת ההגדרה הרגילה והמקובלת. תחת הגדרה חדשה זו מתקיים $\left(L^{1}\left(\mu \right)\right)^{*}\cong L^{\infty }\left(\mu \right)$ (עם אותו איזומורפיזם טבעי כמו במקרה הסיגמא־סופי).

לקריאה נוספת

• Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Gerald B. Folland, Wiley-Interscience, 1999
• Real and Abstract Analysis, E. Hewitt & K. Stromberg, Springer, 1965