בהינתן מספר טבעי , אוסף מספרים חיוביים ומספר ממשי , הממוצע המוכלל של מדרגה מוגדר להיות:[2]
באופן דומה, בהינתן משקולות , הממוצע המשוקלל של מדרגה עם המשקולות מוגדר להיות:
שתי ההגדרות מתלכדות עבור המשקולות האחידות
ניתן להוכיח כי . כלומר, הממוצע המוכלל שואף לערך המקסימלי ככל ש- שואף לאינסוף. על כן נהוג להגדיר .
מניחים בלי הגבלת הכלליות כי . מסמנים:
מבצעים את פונקציית הלוגריתם על שני הסעיפים ומשתמשים בכלל לופיטל כדי לקבל:
על ידי הפעלת פונקציית האקספוננט על שני הסעיפים מקבלים:
מש"ל.
במקרה שבו מתקבל כי:
זהו שורש ממוצע הריבועים.
במקרה שבו מתקבל כי:
זהו הממוצע החשבוני.
על אף שהממוצע המוכלל אינו מוגדר עבור , ניתן להוכיח כי , וזה הממוצע ההנדסי. על כן, טבעי להגדיר את הממוצע המוכלל ב- להיות הממוצע ההנדסי.
מסמנים:
מבצעים את פונקציית הלוגריתם על שני הסעיפים ומשתמשים בכלל לופיטל כדי לקבל:
על ידי הפעלת פונקציית האקפוננט על שני הסעיפים מקבלים:
במקרה שבו מתקבל כי:
זהו הממוצע ההרמוני.
p שואף למינוס אינסוף
עריכה
ניתן להוכיח כי . כלומר, הממוצע המוכלל שואף לערך המינימלי ככל ש- שואף למינוס אינסוף. על כן נהוג להגדיר .
ניתן להראות כי:
מש"ל.