מספר הרטוגס

במתמטיקה, ובפרט, בתורת הקבוצות האקסיומטית, מספר הרטוגס הוא סוג מסוים של מספר מונה (קרדינלי). פרידריך הרטוגס הוכיח ב-1915 שניתן, באמצעות אקסיומות צרמלו-פרנקל בלבד (כלומר, ללא אקסיומת הבחירה) להראות כי לכל $X$ קיים מונה סדור היטב שאינו קטן יותר מעוצמה של $X$.

אין זה הכרחי שקבוצה מסוימת תהיה סדורה היטב על מנת להגדיר את מספר הרטוגס שלה: אם $X$ קבוצה כלשהי, אזי מספר הרטוגס של $X$ היא הסודר המינימלי $\alpha$ כך שאין העתקה חד חד ערכית מ-α ל-$X$. גם אם לא ניתן להגדיר על $X$ סדר טוב, $\alpha$ הוא המונה הסדור היטב הקטן ביותר שעוצמתו גדולה או שווה לשל $X$. ההעתקה המעבירה את $X$ ל-$\alpha$ נקראת לעיתים פונקציית הרטוגס.

כאשר $X$ ניתנת לסידור היטב, מספר הרטוגס שלה יהיה $|X|^{+}$ - המונה הראשון הגדול מעוצמת $X$.

הוכחה

בהינתן מספר משפטים בסיסיים של תורת הקבוצות, ההוכחה פשוטה. יהי $\alpha =\{\beta \in {\textrm {Ord}}|\exists i:\beta \hookrightarrow X\}$. תחילה, נראה כי $\alpha$ היא קבוצה.

1. $X\times X$ היא קבוצה, בהסתמך על אקסיומת קבוצת החזקה ואקסיומת ההפרדה.
2. קבוצת החזקה של $X\times X$ היא קבוצה, בהסתמך על אקסיומת קבוצת החזקה.
3. המחלקה $W$ המכילה את כל הסידורים הטובים הרפלקסיביים של תתי קבוצות של $X$ היא תת-מחלקה מוגדרת של הקבוצה הנ"ל, על סמך אקסיומת ההפרדה.
4. המחלקה של כל טיפוסי הסדר של סידורים טובים של $W$ היא קבוצה לפי אקסיומת ההחלפה, היות שניתן להגדירה באמצעות נוסחה פשוטה.

אבל, הקבוצה האחרונה היא בדיוק $\alpha$.

כעת, היות שקבוצה טרנזיטיבית של סודרים היא סודר אף היא, $\alpha$ היא סודר. בנוסף, אם ישנו שיכון מ-α לתוך $X$, אזי נקבל את הסתירה $\alpha$ שייך ל-$\alpha$. נטען ש-$\alpha$ הוא הסודר הקטן ביותר כך שאין שיכון ממנו אל $X$. אם $\beta <\alpha$, אזי $\beta$ שייך ל-$\alpha$ ולכן קיים שיכון של $\beta$ ב-$X$.

שימושים

קיום מספר הרטוגס מוכיח כי המחלקה של מספרי האלף (המונים הסדורים היטב) לא חסומה על ידי שום עוצמה (כלומר אין קבוצה $X$ כך שכל סודר משוכן בתוכה בצורה חד חד ערכית).

בנוסף, מספרי הרטוגס (או וריאציות עליהם) נמצאים בבסיס ההוכחות שהשערת הרצף המוכללת גוררת את אקסיומת הבחירה כמו גם גרירות נוספות הקשורות לאקסיומת הבחירה.

לקריאה נוספת

• Hartogs, Fritz (1915). "Über das Problem der Wohlordnung". Mathematische Annalen (בגרמנית). 76 (4): 438–443. doi:10.1007/BF01458215. JFM 45.0125.01.. Available at the DigiZeitschriften.
• Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Charles Morgan. "Axiomatic set theory" (PDF). Course Notes. University of Bristol. נבדק ב-2010-04-10.