מספר הרשאד

מספר הרשאד (Harshad number), או מספר ניבן (Niven number) הוא מספר שלם בבסיס ספירה מסוים המתחלק בסכום ספרותיו באותו בסיס ספירה.

דוגמאות

• בבסיס ספירה כלשהו, המספרים בין 1 לבסיס הספירה (מספרים חד-ספרתיים והמספר "10" בבסיס הספירה) הם מספרי הרשאד.
• מספרי הרשאד הראשונים בעלי יותר מספרה אחת, בבסיס ספירה עשרוני, הם:

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, 201, 204, 209, 210, 216, 220, 222, 224, 225, 228, 230, 234, 240, 243

מספר שמהווה מספר הרשאד בכל בסיס ספירה נקרא מספר כל-הרשאד, או מספר כל-ניבן. ישנם רק ארבעה מספרים כאלה: 1, 2, 4 ו-6.

מספרים היכולים להיות מספרי הרשאד

מבחן ההתחלקות של המספר 9 בבסיס ספירה עשרוני יכול לרמוז שכל המספרים המתחלקים ב-9 הם מספרי הרשאד בבסיס זה. אולם כדי לבדוק אם מספר הוא הרשאד, ספרות המספר מחוברות פעם אחת והמספר חייב להתחלק בסכום זה, אחרת הוא אינו הרשאד. לדוגמה: המספר 99 אמנם מתחלק ב-9, אך אינו מתחלק בסכום ספרותיו 18.

בנוסף למספרים החד-ספרתיים שהם מספרי הרשאד באופן טריוויאלי, גם מספר הבסיס הוא מספר הרשאד, כיוון שהוא נכתב "10", וכל מספר מתחלק ב-1.

מספר ראשוני הוא מספר הרשאד בדיוק בכל בסיסי הספירה השווים לו או גדולים ממנו. בכל בסיס ספירה קטן יותר, סכום ספרותיו הוא מספר גדול מ-1 וקטן מהמספר עצמו, ומעובדת היותו ראשוני נובע שאינו מתחלק בסכום.

אף על פי שמספרי העצרת הראשונים בבסיס 10, הם מספרי הרשאד, לא כל מספרי העצרת הם מספרי הרשאד בבסיס 10. המספר הראשון שאינו מספר הרשאד הוא !432.

מספרי הרשאד עוקבים

רוברט אי. קנדי הוכיח בשנת 1982 שבלתי אפשרי לקבל יותר מ-21 מספרי הרשאד עוקבים. בשנת 1993 הוכיחו קרטיס קופר ורוברט אי. קנדי שניהם מהמחלקה למתמטיקה באונ' מרכז מיזורי שבוורנסבורג, שלא יותר מ-20 מספרי הרשאד עוקבים אפשריים.

הלן ג. גרונדמן הוכיחה בשנת 1994 שלא קיימים רצפים של יותר מ-2n מספרי הרשאד עוקבים בבסיס n. כמו כן, היא מצאה את רצף 20 מספרי הרשאד העוקבים הקטנים ביותר. מספרים אלו הם מסדר גודל 10⁴⁴.

ט. קאי הראה ב-1996 שבבסיס ספירה בינארי יש אינסוף רצפים של 4 מספרי הרשאד עוקבים, ובבסיס ספירה טרנארי יש אינסוף רצפים של 6 מספרי הרשאד עוקבים. בבסיס אונרי, כל המספרים הם מספרי הרשאד.

הערכת הצפיפות של מספרי הרשאד

נציין ב $\ N(x)$ מציין את מספר מספרי הרשאד הקטנים או שווים ל-x.

ז'אן-מרי דה קונינק וניקולה דויון (Doyon);
הוכיחו שלכל ε > 0 מתקיים:

$x^{1-\varepsilon }<<N(x)<<{\frac {x\ln \ln x}{\ln x}}$

יתר על כן, דה קונינק, דויון וקטאי (Kátai) הוכיחו ש:

$N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\ln x}}$

כאשר $\ c=(14/27)\ln 10$ השווה בערך ל-1.1939

קישורים חיצוניים

• מספר הרשאד, באתר MathWorld (באנגלית)
• "ON CONSECUTIVE NIVEN NUMBERS ", קרטיס קופר ורוברט אי. קנדי, 1994, (באנגלית).