מעוות

מַעֲוות הוא השינוי הגאומטרי החל בגוף הנתון תחת מאמץ. מעוות יכול להיות אחיד (הומוגני) בכל חלקי הגוף או בלתי אחיד. הביטוי הכללי למעוות הוא טנזור מעוות סימטרי. לרוב מתייחסים למעוות היחסי, עיבור, שהוא ערך חסר יחידת מידה המגדיר את השינוי ביחס לערך הראשוני לפני הפעלת המאמץ, המסומן באמצעות האות היוונית אפסילון ($\varepsilon$).

מאמץ-עיבור במערכת צירים קרטזית

סכמה של דיאגרמת מאמץ-עיבור. הקו הישר הכחול מציין את התחום האלסטי. העקומה הירוקה מציינת את התחום הפלסטי. נקודת השבירה מצוינת באדום

בתחום האלסטי של החומר, הקשר בין המאמץ לבין העיבור נתון על ידי חוק הוק ומתואר באופן גרפי על ידי קו ישר. התחום הפלסטי של חומר מתאפיין בהשתנות שאינה ליניארית, ובעיבור שיורי שנותר לאחר הסרת העומס (היסטרזיס). שני התחומים מוצגים בעקומת מאמץ-עיבור, המבוססת על ערכים ניסוניים של העיבור כתלות במאמץ הפועל על דגם של החומר הנבדק.

עיבור במוט

כאשר המוט מתארך במאמץ מתיחה, המעוות הוא גודל חיובי, וכך גם העיבור. כאשר המוט מתקצר במאמץ לחיצה, המעוות הוא גודל שלילי, וכך גם העיבור. האורך הראשוני של המוט $\ell _{o}$ הוא ערך חיובי.

העיבור כתוצאה ממאמץ הגורם לשינוי אורך של מוט נתון על ידי הביטוי:

$\varepsilon ={\frac {\delta \ell }{\ell _{o}}}={\frac {\ell -\ell _{o}}{\ell _{o}}}$

כאשר

• $\varepsilon$ – העיבור
• $\ell _{o}$ – האורך הראשוני של המוט
• $\ell$ – האורך הנוכחי של המוט
• $\delta \ell$ – המעוות

עיבור צירי ליניארי

הביטוי לעיבור בנקודה כלשהי בגוף מתקבל מהשינוי היחסי במרחק בין שתי נקודות:

$\varepsilon =\mathop {\lim _{\ell \to 0}} {\frac {{\delta }{\ell }}{\ell }}$

כאשר:

• $\varepsilon$ – העיבור
• ${{\delta }{\ell }}$ – שינוי המרחק בין שתי נקודות קרובות
• $\ell$ – המרחק הנוכחי בין שתי נקודות קרובות לאחר הפעלת המאמץ

באופן כללי העיבור הליניארי בגוף מוגדר על ידי שינוי המרחק בין שתי נקודות בגוף שנסמן אותן באופן אקראי על ידי A,B.

$\varepsilon _{x}=\mathop {\lim _{B\to A}} {{|AB'|-|AB|} \over {|AB|}}$

לשדה כלשהו של תזוזות ${\overrightarrow {u}}$ העיבור הליניארי נתון על ידי הנגזרות החלקיות:

$\varepsilon _{x}={{\partial u_{x}} \over {\partial x}}$ ; $\varepsilon _{y}={{\partial u_{y}} \over {\partial y}}$ ; $\varepsilon _{z}={{\partial u_{z}} \over {\partial z}}$

כאשר

• $\varepsilon _{i}$ – העיבור בכיוון ציר $i$
• ${{\partial u_{i}} \over {\partial i}}$ – הנגזרת החלקית של שדה התזוזות${\overrightarrow {u}}$ בנקודה כלשהי בכיוון ציר i

מעוות גזירה

מעוות הגזירה מוגדר כשינוי הזוויתי בנקודה כלשהי בגוף בין שני קווים העוברים דרך הנקודה.

$\gamma _{xy}={{\partial u_{x}} \over {\partial y}}+{{\partial u_{y}} \over {\partial x}}$ ; $\gamma _{yz}={{\partial u_{y}} \over {\partial z}}+{{\partial u_{z}} \over {\partial y}}$ ; $\gamma _{xz}={{\partial u_{x}} \over {\partial z}}+{{\partial u_{z}} \over {\partial x}}$

כאשר:

• $\ \gamma _{ij}$ – המעוות הזוויתי היחסי

מעוות נפחי

המעוות הליניארי ומעוות הגזירה מגדירים באופן מלא את המעוות שעובר הגוף. ניתן להגדיר גם מעוות ניפחי:

$\vartheta =\lim _{V^{(0)}\to 0}{V-V^{(0)} \over {V^{(0)}}}$

כאשר:

• $\vartheta$ – המעוות הנפחי היחסי
• $V^{(0)}\!$ – הנפח ההתחלתי
• $V$ – הנפח הסופי לאחר הפעלת המאמץ

במערכת קואורדינטות ישרת זווית (קרטזית) המעוות הנפחי היחסי הוא בקרוב:

$\vartheta =\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z}$

כאשר:

• $\vartheta$ – המעוות הנפחי היחסי
• $\varepsilon _{x},\varepsilon _{y},\varepsilon _{z}$ הם העיבורים בכיוון הצירים x, y, z

טנזור מעוותים

ניתן לבטא את כל המעוותים בצורה של טנזור:

$\varepsilon _{ij}={1 \over 2}\left({\nabla _{i}u_{j}+\nabla _{j}u_{i}}\right)$

בסימון של אינדקסים:

$\varepsilon ={1 \over 2}({\vec {\nabla }}{\vec {u}}+({\vec {\nabla }}{\vec {u}})^{T})$

במערכת קואורדינטות ישרת זווית:

$\varepsilon _{ij}=\left[{\begin{matrix}{\varepsilon _{x}}&{\frac {\gamma _{xy}}{2}}&{\frac {\gamma _{xz}}{2}}\\{\frac {\gamma _{yx}}{2}}&{\varepsilon _{y}}&{\frac {\gamma _{yz}}{2}}\\{\frac {\gamma _{zx}}{2}}&{\frac {\gamma _{zy}}{2}}&{\varepsilon _{z}}\end{matrix}}\right]$

המעוות הנפחי הוא:

$\vartheta =\varepsilon _{ij}g^{ij}$

g^ij $\vartheta =tr(\varepsilon )$

טנזור מעוותים דו־ממדי:

$\varepsilon _{ij}=\left[{\begin{matrix}{\varepsilon _{x}}&{\frac {\gamma _{xy}}{2}}\\{\frac {\gamma _{xy}}{2}}&{\varepsilon _{y}}\\\end{matrix}}\right]$

המעוותים הראשיים $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}$:

$\varepsilon _{1}={\frac {\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {\varepsilon _{x}-\varepsilon _{y}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {\gamma _{xy}}{2}}\right)^{2}}}$

$\varepsilon _{2}={\frac {\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {\varepsilon _{x}-\varepsilon _{y}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {\gamma _{xy}}{2}}\right)^{2}}}$

לקריאה נוספת

• Timoshenko S.P, Strength of Materials, 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976.
• Sybil P. Parker Editor in Chieh. McGraw-Hill Encyclopedia of Engineering, McGraw Hill Book Company 1983.
• S.P. Timoshenkoo & J.N. Goodier Theory of Elasticity, 3rd edition, International Student Edition, McGraw-Hill 1970.
• Shames I.H., Cozzarelli F.A., Elastic and inelastic stress analysis, Prentice-Hall, 1991.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מעוות בוויקישיתוף

• מעוות באי פאנדה
• עיוותים (מכניקה), דף שער בספרייה הלאומית