מקדם התפשטות

מקדם התפשטות או קבוע התפשטות של גל אלקטרומגנטי סינוסואידי הוא מדד לשינוי שעוברים המשרעת והמופע של הגל כשהוא מתפשט בכיוון נתון. הכמות הנמדדת יכולה להיות מתח, זרם במעגל או וקטור שדה כגון עוצמת שדה חשמלי או צפיפות שטף. מקדם ההתפשטות מייצג את השינוי ליחידת אורך.

ערכו של מקדם ההתפשטות מתבטא בסולם לוגריתמי, כמעט תמיד בבסיס e, ולא בבסיס 10 הנפוץ יותר בטלקומוניקציה. הכמות הנמדדת, כגון מתח, מבוטאת כפאזור סינוסי. המופע של הסינוסואיד משתנה לפי המרחק וכתוצאה מכך מקדם ההתפשטות הוא מספר מרוכב שהחלק המדומה שלו מייצג את השינוי במופע של הגל.

שמות חלופיים

מקדם ההתפשטות נקרא גם "קבוע התפשטות", אך שם זה הוא מעט מטעה, מכיוון שהוא בדרך כלל משתנה מאוד לפי $\omega$. שם זה הוא כנראה המונח הנפוץ ביותר, אך ישנו מגוון גדול של שמות חלופיים למונח זה. בתורת קווי התמסורת (transmission line theory), $\alpha$ ו־$\beta$ נקראים ה"מקדמים המשניים", כאשר המונח משניים בא בניגוד למקדמי הקו הראשוניים (Primary line constants). המקדמים הראשוניים, R,‏ C,‏ L ו־G (התנגדות, קיבול, השראות ומוליכות מפולגים, בהתאמה), הם מאפיינים פיזיים של הקו, מהם ניתן לחשב את המקדמים המשניים באמצעות משוואות הטלגרף. בתחום קווי ההולכה, למונח מקדם ההעברה יש משמעות אחרת למרות דמיון השם: הוא של מקדם ההחזר.

הגדרה

מקדם התפשטות, המסומן באות ${\gamma }$, עבור מערכת נתונה מוגדר על ידי היחס שבין המשרעת המורכבת של הגל בנקודת התחלת הגל לבין המשרעת המרוכבת שלו במרחק מסוים $x$:

${\frac {A_{0}}{A_{x}}}=e^{\gamma x}$

מכיוון שמקדם ההתפשטות הוא גודל מרוכב, ניתן לכתוב אותו כך:

$\gamma =\alpha +i\beta \,$

כאשר:

• $\alpha$, החלק הממשי, נקרא מקדם ניחות או מקדם הנחתה
• $\beta$, החלק המדומה, נקרא מקדם מופע, מקדם פאזה או מקדם שינוי מופע

ניתן לראות מנוסחת אוילר ש־$\beta$ מייצגת את המופע:

$e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }\,\!$

$e^{i\theta }$ הוא סינוסואיד שהמופע שלו משתנה כאשר $\theta$ משתנה, אך משרעתו אינה משתנה – גודלו קבוע:

$\left|e^{i\theta }\right|={\sqrt {\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta }}}=1$

ניתן להוסיף את מקדם המופע המדומה $i\beta$ למקדם הניחות $\alpha$, ובכך ליצור מספר מרוכב יחיד שניתן לטפל בו בפעולה מתמטית אחת (בתנאי ששני המקדמים הם באותו בסיס). זוויות הנמדדות ברדיאנים דורשות בסיס $e$, כך שגם הניחות היא גם בבסיס $e$.

ניתן לחשב את מקדם ההתפשטות בחוטי נחושת (או בכל מוליך אחר) מתוך מקדמי הקו הראשוניים באמצעות הקשר:

$\gamma ={\sqrt {ZY}}$

כאשר:

$Z=R+i\omega L\,\!$ היא עכבת הקו ליחידת אורך,

$Y=G+i\omega C\,\!$ היא מתירות (admittance) הקו ליחידת אורך.

גל מישורי

ערך מורחב – גל מישורי

גורם ההתפשטות של גל מישור הנע בתווך ליניארי בכיוון $x$ נתון על ידי:

$P=e^{-\gamma x}$

כאשר:

$\gamma =\alpha +i\beta ={\sqrt {i\omega \mu (\sigma +i\omega \varepsilon )}}\;$

$x$ הוא מרחק בכיוון $x$

$\alpha$ היא מקדם הניחות בנפרים למטר

$\beta$ היא מקדם המופע ברדיאנים למטר

$\omega$ היא התדירות הזוויתית ברדיאנים לשנייה

$\sigma$ היא מוליכות התווך

$\varepsilon =\varepsilon '-i\varepsilon ''\;$ היא מקדם דיאלקטרי מרוכב של התווך

$\mu =\mu '-i\mu ''\;$ היא מקדם פרמאביליות מורכב של התווך

$i^{2}\equiv -1$

מוסכמת הסימונים נבחרה בצורה עקבית עם ההתפשטות בתווך בעל הפסדים (lossy media). אם מקדם הניחות חיובי, אז משרעת הגל קטנה כשהגל מתפשט בכיוון $x$.

לאורך גל, מהירות פאזה ועומק הקרום יש קשרים פשוטים למרכיבי מקדם ההתפשטות:

$\delta ={\frac {1}{\alpha }}\qquad v_{p}={\frac {\omega }{\beta }}\qquad \lambda ={\frac {2\pi }{\beta }}$