משוואה דיופנטית

במתמטיקה משוואה דיופנטית היא משוואה שקבוצת הפתרונות שלה מוגבלת, בדרך-כלל, לקבוצת המספרים השלמים. משוואות אלה נקראות על שם המתמטיקאי היווני דיופנטוס שחקר אותן.

מנקודת מבט כללית יותר מתייחס השם "משוואה דיופנטית" גם למשוואות שבהן הנעלמים עשויים לקבל ערכים בחוגים אחרים, ובפרט בחוגי שלמים של שדות מספרים.

מיון של משוואות דיופנטיות

המיון הבסיסי של משוואות דיופנטיות דומה לזה של מערכות משוואות אחרות: ההבחנה הראשונה היא בין משוואות פולינומיות לבין משוואות כלליות. פרמטרים בסיסיים אחרים הם מספר המשוואות ומספר המשתנים. למשוואות שאינן פולינומיות (כמו משוואת דיפי־הלמן $a^{x}=c+ny$, בנעלמים $x,y$ עבור $a,c,n$ נתונים), אין תאוריה כללית, ובדרך כלל מיוחד המונח "משוואה דיופנטית" למשוואות פולינומיות. משוואות פולינומיות אפשר למיין מיון נאיבי על-פי המעלה הכוללת של הפולינום, או ה"גובה" של המשוואה (ראו מאמרו של Grechuk ברשימת המקורות, המראה את הפתרון של כל המשוואות הדיפנטיות הפולינומיות בצורה מסודרת, החל מגובה 0 ועד גובה 30, וקורא להמשיך בתוכניתו לפתור משוואות לפי גובה הולך וגדל), אך התאוריה המודרנית, המטפלת במשוואות דיופנטיות בכלים של גאומטריה אריתמטית, ממיינת את מערכות המשוואות על-פי הגנוס הגאומטרי שלהן.

בעקבות פתרון הבעיה העשירית של הילברט, ידוע שאין אלגוריתם המכריע האם למערכת משוואות נתונה יש פתרון. עם זאת, תורת המספרים הקלאסית התמודדה עם טיפוסים רבים של משוואות דיופנטיות (בעיקר ממעלות 2, 3 ו-4), ופותחו כמה שיטות כלליות, כמו גם נימוקים מבריקים לכל מקרה ומקרה. אחת הדוגמאות הידועות היא המשוואה הריבועית $x^{2}+y^{2}=z^{2}$, הנגזרת ממשפט פיתגורס, ושהפתרונות לה נקראים שלשות פיתגוריות. למשוואה זו יש פתרון כללי: $x=2st,y=s^{2}-t^{2},z=s^{2}+t^{2}$ כאשר $s,t$ מספרים טבעיים.

לפי המשפט האחרון של פרמה, למשוואה $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ עבור $n>2$ אין פתרונות שלמים, למעט הטריוויאליים (שבהם אחד הנעלמים שווה ל-0).

משוואות דיופנטיות מערבות במקרים רבים קשיים חישוביים משמעותיים. פתרון המשוואה הפשוטה $xy=n$ (עבור $x,y>1$) שקול לבעיית הפירוק של המספר $n$ לגורמיו הראשוניים, ומאמינים שעבור $n$ גדול זוהי בעיה קשה. יש שיטות הצפנה נפוצות (כמו RSA) שחוזקן מבוסס על ההנחה שבעיית הפירוק אכן קשה לפתרון.

המשוואה ax + by = c

למשוואה הדיופנטית $ax+by=c$ (עבור $a,b,c$ שלמים נתונים) יש פתרון בשלמים אם ורק אם המחלק המשותף המקסימלי של $a,b$ מחלק את $c$.

אם התנאי מתקיים נסמן $\gcd\{a,b\}=d$ ובאמצעות אלגוריתם אוקלידס המורחב נמצא $z_{1},z_{2}$ שלמים עבורם $az_{1}+bz_{2}=d$. קל לראות כי אכן $x_{0}=z_{1}{\frac {c}{d}},y_{0}=z_{2}{\frac {c}{d}}$ יהוו פתרון למשוואה. פתרונות נוספים למשוואה יתקבלו לזוגות המספרים $(x,y)=\left(x_{0}+t{\frac {b}{d}},y_{0}-t{\frac {a}{d}}\right)$ לכל $t$ שלם.

דוגמה

נתונה המשוואה $20x+17y=1000$.

$d=\gcd\{20,17\}=1$ מחלק את $c=1000$ ולכן קיים פתרון למשוואה. נמצא $z_{1},z_{2}$ עבורם $20z_{1}+17z_{2}=1$ באמצעות אלגוריתם אוקלידס המורחב. נתחיל עם המספרים 17 ו-20.

${\begin{aligned}20&=1\cdot 17+3\\17&=5\cdot 3+2\\3&=1\cdot 2+1\\2&=2\cdot 1\\\\2&=17-5\cdot 3\\&=17-5\cdot (20-1\cdot 17)\\&=17-5\cdot 20+5\cdot 17\\&=6\cdot 17-5\cdot 20\\\\1&=3-1\cdot 2\\&=(20-1\cdot 17)-1\cdot (6\cdot 17-5\cdot 20)\\&=6\cdot 20-7\cdot 17\end{aligned}}$

קיבלנו כי $z_{1}=6,z_{2}=-7$ יקיימו $20z_{1}+17z_{2}=1$.

במקרה זה $c=1000,d=1$ לכן ${\frac {c}{d}}=1000$ ולכן $x_{0}=1000z_{1}=6000,y_{0}=1000z_{2}=-7000$ יהוו פתרונות למשוואה. ואכן $6000\cdot 20-7000\cdot 17=1000$.

כלומר $(x,y)=(6000+17t,-7000-20t)$ יהוו פתרון לכל t שלם.

משוואות דיופנטיות קנוניות ממעלות גבוהות

על-פי עקרון הסה, למשוואה דיופנטית ריבועית (הומוגנית, בכל מספר של משתנים) יש פתרון במספרים שלמים אם ורק אם יש לה פתרון ממשי ובכל שדה p-אדי, כלומר מודולו כל חזקה של ראשוני. עקרון הסה חל במקרה זה, מכיוון שמדובר בעקום מגנוס 0. עקרון הסה אינו חל על משוואות מגנוס גבוה יותר, ואפילו על עקומים אליפטיים; את הכישלון של עקרון הסה במקרה האחרון מודדת חבורת שפרביץ', שמשערים כי היא סופית.

מקורות

• Bogdan Grechuk, Diophantine equations: a systematic approach, (2021), preprint.

קישורים חיצוניים

• משוואה דיופנטית, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• פירוט והדגמה של פתרון משוואה דיופנטית (אנגלית)
• משוואה דיופנטית, באתר MathWorld (באנגלית)
• משוואה דיופנטית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)