משוואת אוילר-לגראנז'

בחשבון וריאציות, משוואת אוילר לגראנז' היא משוואה דיפרנציאלית שפתרונותיה הם פונקציות שעבורן הפונקציונל סטציונרי (בנקודת אקסטרמום). המשוואה פותחה על ידי המתמטיקאי השווייצרי לאונרד אוילר ועל ידי המתמטיקאי האיטלקי-צרפתי ז'וזף לואי לגראנז' בשנות ה-50 של המאה ה-18.

מכיוון שפונקציונל גזיר סטציונרי בנקודות הקיצון המקומיות שלו, משוואת אוילר לגראנז' שימושית במיוחד בפתרון בעיות אופטימיזציה, שהן בעיות שמחפשות את הפונקציות עבורן פונקציונל נתון מקבל את ערכו המזערי או המרבי. הדבר דומה למשפט פרמה בחשבון דיפרנציאלי, לפיו פונקציה גזירה מקבלת ערכים מרביים או מזעריים בנקודת בהן הנגזרת שלה מתאפסת.

במכניקה אנליטית (במכניקה לגראנז'ית ליתר דיוק), עקרון המילטון גורס כי מערכת פיזיקלית תנוע במסלול בו הפעולה תהיה סטציונרית. לכן, תנועתה של מערכת פיזיקלית מתוארת על ידי משוואת אוילר לגראנז' עבור הפעולה שלה. עיקרון זה ידוע בשם "עקרון הפעולה המינימלית". במכניקה קלאסית, משוואת אוילר-לגראנז' שקולה לחוקי התנועה של ניוטון, אולם יש לה את היתרון של השימוש בקואורדינטות מוכללות, ולכן קל יותר לערוך בעזרתה הכללות.

היסטוריה

משוואת אוילר-לגראנז' פותחה בשנות ה-50 של המאה ה-18 על ידי אוילר ולגראנז', בהקשר של התעסקותם בבעיית הטאוטוכרון (בעיה העוסקת במציאת העקום עבורו הזמן הלוקח לגוף להחליק ללא חיכוך תחת השפעת כבידה אחידה, עד לנקודת הקצה, איננו תלוי בנקודת ההתחלה). לגראנז' פתר את הבעיה ב-1755 (יצוין כי לגראנז' לא היה הראשון; הויגנס פתר אותה כבר ב-1659), ושלח את פתרונו לאוילר. יחד פיתחו השניים את השיטה של לגראנז' ויישמו אותה גם במכניקה, מה שהוביל לניסוח הפורמליזם של המכניקה הלגראנז'יאנית. יתר על כן, חליפת המכתבים ביניהם הביאה בסופו של דבר למה שנקרא חשבון וריאציות.

ניסוח

משוואת אוילר-לגראנז' היא משוואה דיפרנציאלית (או מערכת של משוואות כאלה), שפתרונה הוא פונקציה ממשית q, המביאה את פונקציונל מהצורה $\displaystyle S(q)=\int _{a}^{b}L(t,q(t),q'(t))\,\mathrm {d} t$ לערך קיצון. כאן $\ q:t\mapsto x=q(t)$ היא פונקציה ממשית גזירה בקטע $\ [a,b]$ . מניחים את תנאי השפה $\ q(a)=x_{a},\,q(b)=x_{b}$ , הקובעים את ערכי הפונקציה בקצות הקטע.

פורמלית, L היא פונקציה ממשית עם נגזרות חלקיות ראשונות רציפות:

${\begin{aligned}L\colon [a,b]\times X\times TX&\to \mathbb {R} \\(t,x,v)&\mapsto L(t,x,v).\end{aligned}}$ , כאשר TX הוא האגד המשיק של X (המרחב של הערכים האפשריים של נגזרות הפונקציות בעלות הערכים ב-X); ו- q′ היא הנגזרת של q:

${\begin{aligned}q'\colon [a,b]&\to TX\\t&\mapsto v=q'(t)\end{aligned}}$ .

תרגום בעיית הקיצון הזו למשוואה דיפרנציאלית נותן

\ {\frac {\partial L(q(t),q'(t),t)}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L(q(t),q'(t),t)}{\partial q'(t)}}=0

.

אם המימד של המרחב X גדול מ-1, מתקבלת מערכת של משוואות דיפרנציאליות, אחת עבור כל רכיב:

\ {\frac {\partial L(q(t),q'(t),t)}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L(q(t),q'(t),t)}{\partial q_{i}'(t)}}=0\quad {\text{for }}i=1,\dots ,n.

דוגמה

בעיה: מהי הפונקציה f בתחום [a,b] שערכיה בקצה נתונים, $\ f(a)=c,f(b)=d$ , כך שאורך הגרף המתאר את הפונקציה הוא הקצר ביותר? אורכה של עקומה בין שני קצוות נתון על ידי $\ell (f)=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,\mathrm {d} x$ .

נסמן את האינטגרנד (הפונקציה עליה מחושב האינטגרל) ב-L: $\ L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}$ . נחשב את הנגזרות המופיעות במשוואת אוילר-לגראנז':

{\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}

{\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0

נציב אותן במשוואה ונקבל:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {f'(x)}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}}=0

לכן, הביטוי $\ {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}}$ הוא קבוע, ולכן נגזרת הפונקציה המבוקשת $\ y'(x)$ קבועה. פונקציה שנגזרתה קבועה היא קו ישר, וזוהי הוכחה וריאציונית לעובדה הגאומטרית הידועה, שקו ישר הוא העקום הקצר ביותר המחבר שתי נקודות במישור.

מכניקה קלאסית

חלקיק בשדה כוח משמר

תנועתו של חלקיק הנע בשדה כוח משמר (למשל, שדה כובד) נקבעת על ידי הדרישה שהפעולה תהיה סטציונרית, וזאת לפי עיקרון המילטון. הפעולה עבור מערכת זו מתוארת על ידי:

S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(t,\mathbf {x} (t),\mathbf {\dot {x}} (t))\,\mathrm {d} t

כאשר $\ x(t)$ הוא מיקומו של החלקיק בזמן t, ו- $\ {\dot {x}}$ היא הנגזרת של x לפי הזמן, או מהירותו. L הוא הלגראנז'יאן של המערכת - ההפרש בין האנרגיה הקינטית לאנרגיה הפוטנציאלית:

L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}m\sum _{i=1}^{3}v_{i}^{2}-U(\mathbf {x} )

כאשר $\ m$ היא מסת החלקיק, $\ v_{i}$ הוא רכיב המהירות ה-i במערכת קואורדינטות קרטזיות, ו- $\ U$ היא האנרגיה הפוטנציאלית המתאימה לכוח המשמר.

במקרה זה, הלגראנז'יאן איננו תלוי בארגומנט הראשון שלו - הזמן. לפי משפט נתר, סימטריה שכזו של הלגראנז'יאן מתאימה לחוק שימור כלשהו. במקרה הספציפי דנן, האינוואריאנטיות של הלגראנז'יאן ביחס לזמן מלמדת על שימור אנרגיה. נמצא כעת את הנגזרות החלקיות:

{\frac {\partial L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )}{\partial x_{i}}}=-{\frac {\partial U(\mathbf {x} )}{\partial x_{i}}}=F_{i}(\mathbf {x} )

{\frac {\partial L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )}{\partial v_{i}}}=mv_{i}=p_{i}

כאשר הכוח הוא $\ F=-\nabla U$ , ו- $\ p$ הוא התנע. הצבת אלו במשוואת אוילר-לגראנז' שקיבלנו, תניב מערכת של משוואות דיפרנציאליות מסדר שני עבור הקואורדינטות המתארות את מסלול החלקיק:

F_{i}(\mathbf {x} (t))={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}m{\dot {x}}_{i}(t)=m{\ddot {x}}_{i}(t)

בכתיב וקטורי, נקבל כי: $\mathbf {F} (\mathbf {x} (t))=m\mathbf {\ddot {x}} (t)$ או $\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$ , שהוא החוק השני של ניוטון.

תורת השדות

תורות הנוגעות לשדות, כמו תורת השדות הקלאסית ותורת השדות הקוונטית, עוסקות בקואורדינטות רציפות, וכמו במכניקה קלאסית, יש להן את משוואת אוילר-לגראנז' המתארת את התנועה בשדה: