משפט אנגל

באלגברה מופשטת, משפט אנגל קובע כי אלגברת לי היא נילפוטנטית אם ורק אם ההצגה הצמודה של כל איבר בה היא איבר נילפוטנטי. למשפט מסקנות חשובות בתאוריה של אלגברות לי ומיונן, ובפרט הוא מהווה כלי עזר בהוכחות שונות, כמו בקריטריון קרטן.

ניסוח פורמלי

תהי $L$ אלגברת לי מעל שדה $\mathbb {F}$ . אזי $L$ נילפוטנטית אם ורק אם לכל $x\in L$ ההצגה הצמודה ${\text{ad}}(x)$ נילפוטנט.

הוכחה

בכיוון הראשון, אם $L$ נילפוטנטית אז לפי הגדרה $\forall x_{i},y\in L:{\text{ad}}(x_{1})\cdots {\text{ad}}(x_{n})(y)=0$ (עבור $n$ ספציפי), ולכן בפרט $\forall x\in L:{\text{ad}}(x)^{n}=0$ .

בכיוון השני, יש להיעזר בלמה:

למה: תהי $L$ תת-אלגברת של אלגברת האנדומורפיזמים ${\mathfrak {gl}}(V)$ , עבור $V$ מממד סופי. אם כל איברי $L$ נילפוטנטים, אז קיים וקטור $v\in V$ לא אפס עבורו $\forall f\in L:f(v)=0$ . כלומר קיים וקטור עצמי משותף לכל איברי $L$ .

(הוכחת הלמה ראו בקריאה נוספת).

כעת, להוכחת הכיוון השני, נפעיל את הלמה עבור ${\text{ad}}(L)$ , תמונת ההצגה הצמודה, ונקבל כי קיים וקטור $x\in L$ עבורו $[L,x]=0$ , כלומר $x$ שייך למרכז $Z(L)$ של $L$ , ולכן המרכז לא ריק. באינדוקציה על הממד, נובע כי $L/Z(L)$ , שממדה קטן מממד $L$ , היא נילפוטנטית, ולכן גם $L$ נילפוטנטית.

מסקנות

מסקנה ושימוש חשובים של המשפט הם שבהינתן אלגברת לי נילפוטנטית $L$ , כל איבר ב- ${\text{ad}}(L)$ (שהוא נילפוטנט) ניתן להציג לפי בסיס מסוים בתור מטריצה משולשית עליונה ממש (עם אפסים באלכסון). בפרט, העקבה של כל איבר כזה היא אפס.

מסקנה נוספת היא שהמרכז של אלגברת לי נילפוטנטית הוא לא ריק.

משפט אנגל

תוכן עניינים

ניסוח פורמלי

הוכחה

מסקנות

ראו גם

לקריאה נוספת

קישורים חיצוניים