תהי מערכת קוונטית הנמצאת במצב קוונטי
Φ
{\displaystyle \Phi }
. נרצה לחשב את הנגזרת בזמן של ערך התצפית של האופרטור A , והיא לפי הגדרה:
d
d
t
⟨
A
⟩
=
d
d
t
∫
Φ
∗
A
Φ
d
x
3
=
∫
(
∂
Φ
∗
∂
t
)
A
Φ
d
x
3
+
∫
Φ
∗
(
∂
A
∂
t
)
Φ
d
x
3
+
∫
Φ
∗
A
(
∂
Φ
∂
t
)
d
x
3
=
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi dx^{3}=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi dx^{3}+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi dx^{3}+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)dx^{3}=}
=
∫
(
∂
Φ
∗
∂
t
)
A
Φ
d
x
3
+
⟨
∂
A
∂
t
⟩
+
∫
Φ
∗
A
(
∂
Φ
∂
t
)
d
x
3
{\displaystyle =\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi dx^{3}+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)dx^{3}}
כאשר האינטגרציה היא על כל המרחב. כשנפעיל את משוואת שרדינגר , נקבל:
∂
Φ
∂
t
=
1
i
ℏ
H
Φ
{\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}H\Phi }
והיות ואופרטור ההמילטוניאן הרמיטי , מתקיים גם
∂
Φ
∗
∂
t
=
−
1
i
ℏ
Φ
∗
H
∗
=
−
1
i
ℏ
Φ
∗
H
.
{\displaystyle {\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H^{*}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H.}
[ 3]
כשנציב את שתי המשוואות האחרונות במשוואה הראשונה, נקבל את המשפט:
d
d
t
⟨
A
⟩
=
1
i
ℏ
∫
Φ
∗
(
A
H
−
H
A
)
Φ
d
x
3
+
⟨
∂
A
∂
t
⟩
=
1
i
ℏ
⟨
[
A
,
H
]
⟩
+
⟨
∂
A
∂
t
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~dx^{3}+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }
במקרים בהם האופרטור A אינו תלוי בזמן, האיבר האחרון מתאפס.
בתמונת הייזנברג, הנגזרת טריוויאלית. תמונת הייזנברג מקדמת בזמן את המערכת באמצעות אופרטורים ולא מצבים על ידי משוואת התנועה של הייזנברג:
d
d
t
A
(
t
)
=
∂
A
(
t
)
∂
t
+
1
i
ℏ
[
A
(
t
)
,
H
]
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {\partial A(t)}{\partial t}}+{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H]}
ניתן להוכיח מכאן את משפט ארנפסט בקלות באמצעות הפעלת נגזרת האופרטור באופן הבא:
⟨
Ψ
|
d
d
t
A
(
t
)
|
Ψ
⟩
=
⟨
Ψ
|
∂
A
(
t
)
∂
t
|
Ψ
⟩
+
⟨
Ψ
|
1
i
ℏ
[
A
(
t
)
,
H
)
]
|
Ψ
⟩
{\displaystyle \langle \Psi |{\frac {d}{dt}}A(t)|\Psi \rangle =\langle \Psi |{\frac {\partial A(t)}{\partial t}}|\Psi \rangle +\langle \Psi |{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H)]|\Psi \rangle }
ניתן להוציא את הנגזרת מהביטוי הראשון היות שוקטורי מצב בתמונת הייזנברג הם בלתי תלויים בזמן. על כן:
d
d
t
⟨
A
(
t
)
⟩
=
⟨
∂
A
(
t
)
∂
t
⟩
+
1
i
ℏ
⟨
[
A
(
t
)
,
H
)
]
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A(t)\rangle =\left\langle {\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle [A(t),H)]\rangle }
עבור חלקיק גדול הנע בפוטנציאל V, ההמילטוניאן הוא
H
(
x
,
p
,
t
)
=
p
2
2
m
+
V
(
x
,
t
)
{\displaystyle H(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)}
כאשר x הוא מיקום החלקיק.
נרצה לחשב את השינוי הרגעי בתנע p. נעשה זאת תוך שימוש במשפט ארנפסט:
d
d
t
⟨
p
⟩
=
1
i
ℏ
⟨
[
p
,
H
]
⟩
+
⟨
∂
p
∂
t
⟩
=
1
i
ℏ
⟨
[
p
,
V
(
x
,
t
)
]
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,V(x,t)]\rangle }
כאשר המעבר השני נובע מכך שאופרטור התנע חילופי עם עצמו ואינו תלוי מפורשות בזמן.[ 4] . נשתמש בכך שמתקיים
p
=
−
i
ℏ
∇
{\displaystyle p=-i\hbar \nabla }
ונקבל:
d
d
t
⟨
p
⟩
=
∫
Φ
∗
V
(
x
,
t
)
∇
Φ
d
x
3
−
∫
Φ
∗
∇
(
V
(
x
,
t
)
Φ
)
d
x
3
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t)\nabla \Phi ~dx^{3}-\int \Phi ^{*}\nabla (V(x,t)\Phi )~dx^{3}}
נפעיל על הביטוי השני את כלל לייבניץ ונקבל:
d
d
t
⟨
p
⟩
=
∫
Φ
∗
V
(
x
,
t
)
∇
Φ
d
x
3
−
∫
Φ
∗
(
∇
V
(
x
,
t
)
)
Φ
d
x
3
−
∫
Φ
∗
V
(
x
,
t
)
∇
Φ
d
x
3
=
−
∫
Φ
∗
(
∇
V
(
x
,
t
)
)
Φ
d
x
3
=
⟨
−
∇
V
(
x
,
t
)
⟩
=
⟨
F
⟩
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle &=\int \Phi ^{*}V(x,t)\nabla \Phi ~dx^{3}-\int \Phi ^{*}(\nabla V(x,t))\Phi ~dx^{3}-\int \Phi ^{*}V(x,t)\nabla \Phi ~dx^{3}\\&=-\int \Phi ^{*}(\nabla V(x,t))\Phi ~dx^{3}\\&=\langle -\nabla V(x,t)\rangle =\langle F\rangle ,\end{aligned}}}
וזהו החוק השני של ניוטון . זוהי דוגמה לעקרון ההתאמה של בוהר . באופן דומה, ניתן לבדוק את השינוי בזמן של ערך התצפית של המקום:
d
d
t
⟨
x
⟩
=
1
i
ℏ
⟨
[
x
,
H
]
⟩
+
⟨
∂
x
∂
t
⟩
=
1
i
ℏ
⟨
[
x
,
p
2
2
m
+
V
(
x
,
t
)
]
⟩
+
0
=
1
i
ℏ
⟨
[
x
,
p
2
2
m
]
⟩
=
1
i
ℏ
2
m
⟨
[
x
,
p
]
d
d
p
p
2
⟩
=
1
i
ℏ
2
m
⟨
i
ℏ
2
p
⟩
=
1
m
⟨
p
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle &={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle \\&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)\right]\right\rangle +0\\&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}\right]\right\rangle \\&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\left\langle [x,p]{\frac {d}{dp}}p^{2}\right\rangle \\&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\langle i\hbar 2p\rangle \\&={\frac {1}{m}}\langle p\rangle \end{aligned}}}
אכן, שוב קיבלנו התאמה לעקרון מהמכניקה הקלאסית.
^ Ehrenfest, P. (1927). "Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik 45 (7–8): 455–457. doi:10.1007/BF01329203
^ Smith, Henrik (1991). Introduction to Quantum Mechanics . World Scientific Pub Co Inc. pp. 108 –109. ISBN 978-9810204754 .
^ בסימון דיראק ,
∂
∂
t
⟨
ϕ
|
x
⟩
=
−
1
i
ℏ
⟨
ϕ
|
H
^
|
x
⟩
=
−
1
i
ℏ
⟨
ϕ
|
x
⟩
H
=
−
1
i
ℏ
Φ
∗
H
,
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\langle \phi |x\rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \phi |{\hat {H}}|x\rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \phi |x\rangle H={\frac {-1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H,}
כאשר
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
הוא אופרטור ההמילטוניאן, ו-H הוא ההמילטוניאן המיוצג במרחב (כמתואר בגזירה לעיל).
^ למרות שערך התצפית של התנע תלוי בזמן המדידה, אופרטור התנע עצמו p אינו תלוי; אופרטור התנע הוא אופרטור ליניארי קבוע בזמן במרחב הילברט של המערכת. התלות בזמן של ערך התצפית נובעת מההתקדמות בזמן של פונקציית הגל.