תהי A קבוצת האפשרויות לבחירה, ויהי
P
N
{\displaystyle \ P^{N}}
וקטור בחירות, כאשר
N
=
{
1
,
2
,
⋯
,
n
}
{\displaystyle N=\{1,2,\cdots ,n\}}
היא קבוצת הבוחרים.
אם
|
A
|
≥
3
{\displaystyle \left|A\right|\geq 3}
, ואם
G
:
P
N
→
A
{\displaystyle \,G:P^{N}\rightarrow A}
היא פונקציית בחירה חברתית המקיימת את עקרונות המונוטוניות ואת עקרון הפה אחד, אז
G
{\displaystyle G}
דיקטטורית.
לפי
G
{\displaystyle G}
נגדיר פונקציית רווחה חברתית
F
{\displaystyle F}
. נראה ש-
F
{\displaystyle F}
מקיימת את עקרונות האי תלות באפשרויות לא רלוונטיות, ופה אחד. לפי משפט ארו נקבל ש-
F
{\displaystyle F}
היא דיקטטורה, ובעזרתה נראה שגם
G
{\displaystyle G}
היא דיקטטורה.
יהיו
P
{\displaystyle P}
,
Q
{\displaystyle Q}
שני יחסי העדפות חזקים.
R
⊆
A
{\displaystyle R\subseteq A}
תת-קבוצה של אפשרויות.
נסמן ב
Z
(
P
,
Q
;
R
)
{\displaystyle Z\left(P,Q;R\right)}
את יחס ההעדפות המוגדר באופן הבא:
כל האפשרויות ב
R
{\displaystyle R}
מדורגות לפני האפשרויות שאינן ב
R
{\displaystyle R}
.
את האפשרויות ב
R
{\displaystyle R}
מדרגים לפי
P
{\displaystyle P}
.
את האפשרויות שאינן ב
R
{\displaystyle R}
מדרגים לפי
Q
{\displaystyle Q}
.
בנוסף נסמן:
P
N
=
(
P
i
)
i
∈
N
{\displaystyle P^{N}=\left(P_{i}\right)_{i\in N}}
,
Q
N
=
(
Q
i
)
i
∈
N
{\displaystyle Q^{N}=\left(Q_{i}\right)_{i\in N}}
,
Z
(
P
N
,
Q
N
;
R
)
=
(
Z
(
P
i
,
Q
i
;
R
)
)
i
∈
N
{\displaystyle Z\left(P^{N},Q^{N};R\right)=\left(Z\left(P_{i},Q_{i};R\right)\right)_{i\in N}}
דוגמה: נניח שקבוצת האפשרויות היא
A
=
{
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
4
}
{\displaystyle A=\left\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right\}}
, ו-
R
=
{
a
1
,
a
4
}
{\displaystyle R=\left\{a_{1},a_{4}\right\}}
.
אם יחסי ההעדפות
P
{\displaystyle P}
ו-
Q
{\displaystyle Q}
מוגדרים באופן הבא:
P
:
a
1
>
a
2
>
a
3
>
a
4
{\displaystyle P:a_{1}>a_{2}>a_{3}>a_{4}}
Q
:
a
2
>
a
4
>
a
1
>
a
3
{\displaystyle Q:a_{2}>a_{4}>a_{1}>a_{3}}
אז היחס
Z
(
P
,
Q
;
R
)
{\displaystyle Z\left(P,Q;R\right)}
יהיה מוגדר כך:
Z
(
P
,
Q
;
R
)
:
a
1
>
a
4
>
a
2
>
a
3
{\displaystyle Z\left(P,Q;R\right):a_{1}>a_{4}>a_{2}>a_{3}}
תהי
G
{\displaystyle G}
פונקציית בחירה חברתית מונוטונית.
יהיו
P
N
{\displaystyle P^{N}}
,
Q
N
{\displaystyle Q^{N}}
נתונים. יהי
R
⊆
A
{\displaystyle R\subseteq A}
. נסמן
a
=
G
(
P
N
)
{\displaystyle a=G\left(P^{N}\right)}
, ונניח
a
∈
R
{\displaystyle a\in R}
, אז נקבל ש-
G
(
Z
(
P
i
,
Q
i
;
R
)
)
=
a
{\displaystyle G\left(Z\left(P_{i},Q_{i};R\right)\right)=a}
.
זה נובע מהגדרת המונוטוניות (לא הרענו את מצבו של
a
{\displaystyle a}
ב-
Z
(
P
N
,
Q
N
;
R
)
{\displaystyle Z\left(P^{N},Q^{N};R\right)}
ביחס למצבו ב-
P
N
{\displaystyle P^{N}}
).
מסקנה: אם
a
∈
R
{\displaystyle a\in R}
וגם
G
(
Z
(
P
N
,
Q
N
;
R
)
)
≠
a
{\displaystyle G\left(Z\left(P^{N},Q^{N};R\right)\right)\neq a}
, אז נקבל ש-
G
(
P
N
)
≠
a
{\displaystyle G\left(P^{N}\right)\neq a}
.
תהי
G
{\displaystyle G}
פונקציית בחירה חברתית המקיימת את עקרונות המונוטונית והפה אחד.
יהיו נתונים
P
N
{\displaystyle P^{N}}
,
a
,
b
∈
A
{\displaystyle a,b\in A}
(יש עוד מועמדים).
אם
a
>
P
i
b
{\displaystyle a>_{P_{i}}b}
∀
i
{\displaystyle \forall i}
⇐
{\displaystyle \Leftarrow }
G
(
P
N
)
≠
b
{\displaystyle G\left(P^{N}\right)\neq b}
.
הוכחה: נסמן
R
=
{
a
,
b
}
{\displaystyle R=\left\{a,b\right\}}
, ונסתכל על
Z
(
P
N
,
Q
N
;
R
)
{\displaystyle Z\left(P^{N},Q^{N};R\right)}
.
אז בגלל עקרון הפה אחד:
G
(
Z
(
P
N
,
Q
N
;
R
)
)
=
a
≠
b
{\displaystyle G\left(Z\left(P^{N},Q^{N};R\right)\right)=a\neq b}
.
מהמסקנה של משפט עזר 1, נסיק ש-
G
(
P
N
)
≠
b
{\displaystyle G\left(P^{N}\right)\neq b}
.
הגדרה פונקציית הרווחה החברתית
F
{\displaystyle F}
עריכה
יהי
W
N
∈
(
P
(
A
)
)
N
{\displaystyle W^{N}\in \left(P\left(A\right)\right)^{N}}
פרופיל העדפות חזקות כלשהו, קבוע לאורך כל ההוכחה.
לכל פרופיל העדפות חזקות
P
N
{\displaystyle P^{N}}
נגדיר יחס בינארי
F
(
P
N
)
{\displaystyle F\left(P^{N}\right)}
באופן הבא:
לכל שתי אפשרויות שונות
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in R}
מתקיים:
G
(
Z
(
P
N
,
W
N
;
{
a
,
b
}
)
)
=
a
{\displaystyle G\left(Z\left(P^{N},W^{N};\left\{a,b\right\}\right)\right)=a}
⇐
{\displaystyle \Leftarrow }
a
>
F
(
P
N
)
b
{\displaystyle a>_{F\left(P^{N}\right)}b}
G
(
Z
(
P
N
,
W
N
;
{
a
,
b
}
)
)
=
b
{\displaystyle G\left(Z\left(P^{N},W^{N};\left\{a,b\right\}\right)\right)=b}
⇐
{\displaystyle \Leftarrow }
b
>
F
(
P
N
)
a
{\displaystyle b>_{F\left(P^{N}\right)}a}
כדי שהיחס יהיה רפלקסיבי, נגדיר בנוסף:
a
≥
F
(
P
N
)
a
{\displaystyle a\geq _{F\left(P^{N}\right)}a}
,
∀
a
∈
A
{\displaystyle \forall a\in A}
.
נראה ש-
F
{\displaystyle F}
היא פונקציית רווחה חברתית
עריכה
על מנת להראות ש
F
{\displaystyle F}
היא פונקציית רווחה חברתית, יש להראות שהיחס
F
(
P
N
)
{\displaystyle F\left(P^{N}\right)}
הוא שלם וטרנזיטיבי.
כל האפשרויות השונות מ-
a
{\displaystyle a}
ו-
b
{\displaystyle b}
מועדפת פחות מ-
a
{\displaystyle a}
על ידי כל הבוחרים, לכן לפי משפט עזר 2 , אף אחת מאפשרויות אלה אינה יכולה להיות
G
(
Z
(
P
N
,
W
N
;
{
a
,
b
}
)
)
{\displaystyle G\left(Z\left(P^{N},W^{N};\left\{a,b\right\}\right)\right)}
. לכן
G
(
Z
(
P
N
,
W
N
;
{
a
,
b
}
)
)
∈
{
a
,
b
}
{\displaystyle G\left(Z\left(P^{N},W^{N};\left\{a,b\right\}\right)\right)\in \left\{a,b\right\}}
.
לפי הגדרת היחס הבינארי
F
(
P
N
)
{\displaystyle F\left(P^{N}\right)}
נקבל שלכל זוג אפשרויות
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
שונות זו מזו ב
R
{\displaystyle R}
, מתקיים:
b
>
F
(
P
N
)
a
{\displaystyle b>_{F\left(P^{N}\right)}a}
או
a
>
F
(
P
N
)
b
{\displaystyle a>_{F\left(P^{N}\right)}b}
, כלומר,
F
(
P
N
)
{\displaystyle F\left(P^{N}\right)}
הוא יחס העדפות שלם על
R
{\displaystyle R}
.
נשים לב גם שאין אדישות ב-
F
(
P
N
)
{\displaystyle F\left(P^{N}\right)}
, כלומר, או שהחברה מעדיפה ממש את
b
{\displaystyle b}
על
a
{\displaystyle a}
, או שהחברה מעדיפה ממש את
a
{\displaystyle a}
על
b
{\displaystyle b}
.
נניח בשלילה כי היחס אינו טרנזיטיבי, כלומר קיימים
a
,
b
,
c
∈
R
{\displaystyle a,b,c\in R}
כך ש:
a
>
F
(
P
N
)
b
{\displaystyle a>_{F\left(P^{N}\right)}b}
, ו-
b
>
F
(
P
N
)
c
{\displaystyle b>_{F\left(P^{N}\right)}c}
אבל
c
>
F
(
P
N
)
a
{\displaystyle c>_{F\left(P^{N}\right)}a}
.
(האפשרות
c
≈
F
(
P
N
)
a
{\displaystyle c\approx _{F\left(P^{N}\right)}a}
לא תיתכן, משום שלפי הגדרת
F
(
P
N
)
{\displaystyle F\left(P^{N}\right)}
, שני איברים הם שקולים אם ורק אם הם שווים, ובמקרה זה נקבל שגם
a
>
F
(
P
N
)
b
{\displaystyle a>_{F\left(P^{N}\right)}b}
וגם
b
>
F
(
P
N
)
a
{\displaystyle b>_{F\left(P^{N}\right)}a}
מתקיימים ביחד, וזו סתירה להגדרה
F
(
P
N
)
{\displaystyle F\left(P^{N}\right)}
.)
נשים לב לזהות הבאה:
Z
(
P
N
,
W
N
;
{
a
,
b
}
)
=
Z
(
Z
(
P
N
,
P
N
;
{
a
,
b
,
c
}
)
,
W
N
;
{
a
,
b
}
)
{\displaystyle Z\left(P^{N},W^{N};\left\{a,b\right\}\right)=Z\left(Z\left(P^{N},P^{N};\left\{a,b,c\right\}\right),W^{N};\left\{a,b\right\}\right)}
.
על
{
a
,
b
}
{\displaystyle \left\{a,b\right\}}
יחס הסדר נקבע בשני המקרים על ידי
P
N
{\displaystyle P^{N}}
, ועל המשלים של
{
a
,
b
}
{\displaystyle \left\{a,b\right\}}
יחס הסדר נקבע בשני המקרים על ידי
W
N
{\displaystyle W^{N}}
. לכן השוויון הנ"ל מתקיים.
מכך ש-
a
>
F
(
P
N
)
b
{\displaystyle a>_{F\left(P^{N}\right)}b}
נובע כי
G
(
Z
(
P
N
,
W
N
;
{
a
,
b
}
)
)
=
a
{\displaystyle G\left(Z\left(P^{N},W^{N};\left\{a,b\right\}\right)\right)=a}
, ולפי הזהות הקודמת, נקבל ש-
G
(
Z
(
Z
(
P
N
,
P
N
;
{
a
,
b
,
c
}
)
,
W
N
;
{
a
,
b
}
)
)
=
a
{\displaystyle G\left(Z\left(Z\left(P^{N},P^{N};\left\{a,b,c\right\}\right),W^{N};\left\{a,b\right\}\right)\right)=a}
.
בפרט נקבל ש-
G
(
Z
(
Z
(
P
N
,
P
N
;
{
a
,
b
,
c
}
)
,
W
N
;
{
a
,
b
}
)
)
≠
b
{\displaystyle G\left(Z\left(Z\left(P^{N},P^{N};\left\{a,b,c\right\}\right),W^{N};\left\{a,b\right\}\right)\right)\neq b}
, ולפי משפט עזר 1 , נסיק כי
G
(
Z
(
P
N
,
P
N
;
{
a
,
b
,
c
}
)
)
≠
b
{\displaystyle G\left(Z\left(P^{N},P^{N};\left\{a,b,c\right\}\right)\right)\neq b}
.
כלומר, הראינו ש-
G
(
Z
(
P
N
,
P
N
;
{
a
,
b
,
c
}
)
)
≠
b
{\displaystyle G\left(Z\left(P^{N},P^{N};\left\{a,b,c\right\}\right)\right)\neq b}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
a
>
F
(
P
N
)
b
{\displaystyle a>_{F\left(P^{N}\right)}b}
.
באופן דומה, מכך ש
b
>
F
(
P
N
)
c
{\displaystyle b>_{F\left(P^{N}\right)}c}
, נקבל ש-
G
(
Z
(
P
N
,
P
N
;
{
a
,
b
,
c
}
)
)
≠
c
{\displaystyle G\left(Z\left(P^{N},P^{N};\left\{a,b,c\right\}\right)\right)\neq c}
.
כמו כן, מכך ש
c
>
F
(
P
N
)
a
{\displaystyle c>_{F\left(P^{N}\right)}a}
, נקבל ש-
G
(
Z
(
P
N
,
P
N
;
{
a
,
b
,
c
}
)
)
≠
a
{\displaystyle G\left(Z\left(P^{N},P^{N};\left\{a,b,c\right\}\right)\right)\neq a}
.
סך הכל קיבלנו ש-
G
(
Z
(
P
N
,
P
N
;
{
a
,
b
,
c
}
)
)
∉
{
a
,
b
,
c
}
{\displaystyle G\left(Z\left(P^{N},P^{N};\left\{a,b,c\right\}\right)\right)\not \in \left\{a,b,c\right\}}
.
מצד שני, לכל
d
∈
A
{
a
,
b
,
c
}
{\displaystyle d\in A\ \left\{a,b,c\right\}}
, מתקיים:
G
(
Z
(
P
N
,
P
N
;
{
a
,
b
,
c
}
)
)
≠
d
{\displaystyle G\left(Z\left(P^{N},P^{N};\left\{a,b,c\right\}\right)\right)\neq d}
.
הסבר: לכל
d
{\displaystyle d}
כזה מתקיים
a
>
G
(
Z
(
P
N
,
P
N
;
{
a
,
b
,
c
}
)
)
d
{\displaystyle a>_{G\left(Z\left(P^{N},P^{N};\left\{a,b,c\right\}\right)\right)}d}
, ולפי משפט עזר 2 נקבל ש-
G
(
Z
(
P
N
,
P
N
;
{
a
,
b
,
c
}
)
)
≠
d
{\displaystyle G\left(Z\left(P^{N},P^{N};\left\{a,b,c\right\}\right)\right)\neq d}
.
אבל אם כך, מתקבל ש-
G
(
Z
(
P
N
,
P
N
;
{
a
,
b
,
c
}
)
)
∉
A
{\displaystyle G\left(Z\left(P^{N},P^{N};\left\{a,b,c\right\}\right)\right)\not \in A}
, וזה בסתירה להגדרת הבחירה החברתית
G
{\displaystyle G}
. מכאן שהנחת השלילה שהיחס
F
(
P
N
)
{\displaystyle F\left(P^{N}\right)}
אינו טרנזיטיבי אינה נכונה, ולכן היחס כן טרנזיטיבי.
הראינו שהיחס
F
(
P
N
)
{\displaystyle F\left(P^{N}\right)}
הוא שלם וטרנזיטיבי, לכן
F
{\displaystyle F}
היא פונקציית רווחה חברתית.
נותר להראות ש-
F
{\displaystyle F}
מקיימת את עקרון הפה אחד, ואי תלות באפשרויות לא רלוונטיות.
נראה ש-
F
{\displaystyle F}
מקיימת את עקרון הפה אחד
עריכה
יהי
P
N
{\displaystyle P^{N}}
המקיים
a
>
P
i
b
{\displaystyle a>_{P_{i}}b}
,
∀
i
∈
N
{\displaystyle \forall i\in N}
. צריכים להראות ש-
a
>
F
(
P
N
)
b
{\displaystyle a>_{F\left(P^{N}\right)}b}
.
לשם כך יש להוכיח ש-
G
(
Z
(
P
N
,
W
N
;
{
a
,
b
}
)
)
=
a
{\displaystyle G\left(Z\left(P^{N},W^{N};\left\{a,b\right\}\right)\right)=a}
.
אכן, נשים לב שביחסים
Z
(
P
N
,
W
N
;
{
a
,
b
}
)
{\displaystyle Z\left(P^{N},W^{N};\left\{a,b\right\}\right)}
,
a
{\displaystyle a}
ממוקם במקום הראשון לכל
i
{\displaystyle i}
. כיוון ש-
G
{\displaystyle G}
מקיימת את עקרון הפה אחד, אז השוויון
G
(
Z
(
P
N
,
W
N
;
{
a
,
b
}
)
)
=
a
{\displaystyle G\left(Z\left(P^{N},W^{N};\left\{a,b\right\}\right)\right)=a}
מתקיים.
לכן
F
{\displaystyle F}
מקיימת את עקרון הפה אחד.
נראה ש-
F
{\displaystyle F}
מקיימת את עקרון האי תלות באפשרויות לא רלוונטיות
עריכה
יהיו
P
N
{\displaystyle P^{N}}
,
Q
N
{\displaystyle Q^{N}}
,
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
המקיימים:
∀
i
∈
N
{\displaystyle \forall i\in N}
a
>
P
i
b
{\displaystyle a>_{P_{i}}b}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
a
>
Q
i
b
{\displaystyle a>_{Q_{i}}b}
.
יש להוכיח ש-
a
>
F
(
P
N
)
b
{\displaystyle a>_{F\left(P^{N}\right)}b}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
a
>
F
(
Q
N
)
b
{\displaystyle a>_{F\left(Q^{N}\right)}b}
, או באופן שקול:
G
(
Z
(
P
N
,
W
N
;
{
a
,
b
}
)
)
=
G
(
Z
(
Q
N
,
W
N
;
{
a
,
b
}
)
)
{\displaystyle G\left(Z\left(P^{N},W^{N};\left\{a,b\right\}\right)\right)=G\left(Z\left(Q^{N},W^{N};\left\{a,b\right\}\right)\right)}
.
ואכן זה מתקיים משום ש-
Z
(
P
N
,
W
N
;
{
a
,
b
}
)
=
Z
(
Q
N
,
W
N
;
{
a
,
b
}
)
{\displaystyle Z\left(P^{N},W^{N};\left\{a,b\right\}\right)=Z\left(Q^{N},W^{N};\left\{a,b\right\}\right)}
, ולכן
F
{\displaystyle F}
מקיימת את עקרון האי תלות באפשרויות לא רלוונטיות.
ממשפט ארו , נקבל ש-
F
{\displaystyle F}
היא דיקטטורית, כלומר קיים
i
{\displaystyle i}
כך ש-
∀
P
N
{\displaystyle \forall P^{N}}
מתקיים
F
(
P
N
)
=
P
i
{\displaystyle F\left(P^{N}\right)=P_{i}}
.
סיום ההוכחה – נראה ש-
G
{\displaystyle G}
היא דיקטטורית, עם אותו דיקטטור
i
{\displaystyle i}
עריכה
יהי
P
N
{\displaystyle P^{N}}
כלשהו, ותהי
a
{\displaystyle a}
האפשרות בעדיפות ראשונה לפי
P
i
{\displaystyle P_{i}}
של בוחר
i
{\displaystyle i}
.
יש להוכיח כי
G
(
P
N
)
=
a
{\displaystyle G\left(P^{N}\right)=a}
.
נניח בשלילה ש-
G
(
P
N
)
=
b
≠
a
{\displaystyle G\left(P^{N}\right)=b\neq a}
, אז לפי משפט עזר 1 מתקיים ש-
G
(
Z
(
P
N
,
W
N
;
{
a
,
b
}
)
)
=
b
≠
a
{\displaystyle G\left(Z\left(P^{N},W^{N};\left\{a,b\right\}\right)\right)=b\neq a}
.
לכן, לפי הגדרת
F
{\displaystyle F}
נקבל שהחברה כולה מעדיפה את
b
{\displaystyle b}
על פני
a
{\displaystyle a}
, או באופן שקול:
b
>
F
(
P
N
)
a
{\displaystyle b>_{F\left(P^{N}\right)}a}
, וזאת בסתירה לכך ש-
i
{\displaystyle i}
דיקטטור לפי
F
{\displaystyle F}
.
לכן קיבלנו שגם
G
{\displaystyle G}
היא דיקטטורית, עם אותו דיקטטור
i
{\displaystyle i}
.