ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים.אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים .דף השיחה .
באנליזה מרוכבת , משפט רושה מאפשר להסיק שבתנאים מסוימים, לשתי פונקציות הולומורפיות יש אותו מספר אפסים בתחום נתון. זהו משפט שימושי באיתור אפסים של פונקציות, משום שהוא מאפשר להשוות פונקציה מסובכת לפונקציה פשוטה, שהאפסים שלה ידועים. המשפט נובע מעקרון הארגומנט .
נניח ש-
D
⊆
C
{\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }
פתוח ששפתו היא מסילה פשוטה; למשל, מעגל או מצולע . נניח ש-
f
,
h
{\displaystyle f,h}
|
f
(
z
)
−
h
(
z
)
|
<
|
h
(
z
)
|
{\displaystyle |f(z)-h(z)|<|h(z)|}
z
{\displaystyle z}
f
,
h
{\displaystyle f,h}
ריבוי המתאים.
לפונקציה
f
(
z
)
=
3
z
+
e
z
{\displaystyle f(z)=3z+e^{z}}
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
h
(
z
)
=
3
z
{\displaystyle h(z)=3z}
|
f
(
z
)
−
h
(
z
)
|
=
|
3
z
+
e
z
−
3
z
|
=
|
e
z
|
<
|
3
z
|
{\displaystyle |f(z)-h(z)|=|3z+e^{z}-3z|=|e^{z}|<|3z|}
z
{\displaystyle z}
h
(
z
)
=
3
z
{\displaystyle h(z)=3z}
f
{\displaystyle f}
עבור
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle t\in [0,1]}
h
t
(
z
)
=
(
1
−
t
)
h
(
z
)
+
t
f
(
z
)
{\displaystyle h_{t}(z)=(1-t)h(z)+tf(z)}
h
t
{\displaystyle h_{t}}
D
{\displaystyle D}
D
¯
{\displaystyle {\overline {D}}}
כעת נראה כי לכל
z
∈
∂
D
{\displaystyle z\in \partial D}
h
t
(
z
)
≠
0
{\displaystyle h_{t}(z)\neq 0}
|
h
t
(
z
)
|
=
|
h
(
z
)
−
t
(
h
(
z
)
−
f
(
z
)
)
|
≥
|
h
(
z
)
|
−
|
t
(
h
(
z
)
−
f
(
z
)
)
|
≥
|
h
(
z
)
|
−
|
h
(
z
)
−
f
(
z
)
|
{\displaystyle |h_{t}(z)|=|h(z)-t(h(z)-f(z))|\geq |h(z)|-|t(h(z)-f(z))|\geq |h(z)|-|h(z)-f(z)|}
ואמנם, מהנתון ידוע
|
h
(
z
)
|
−
|
h
(
z
)
−
f
(
z
)
|
>
0
{\displaystyle |h(z)|-|h(z)-f(z)|>0}
|
h
t
(
z
)
|
>
0
{\displaystyle |h_{t}(z)|>0}
למעשה, עכשיו אנו יכולים להשתמש בעקרון הארגומנט על
h
t
{\displaystyle h_{t}}
h
t
{\displaystyle h_{t}}
קטבים בתחום, ולפי עקרון הארגומנט מספר האפסים שלה הוא בדיוק
1
2
π
i
∫
∂
D
h
t
′
(
z
)
h
t
(
z
)
d
z
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {h_{t}'(z)}{h_{t}(z)}}dz}
כעת נגדיר פונקציה חדשה:
φ
(
t
)
=
1
2
π
i
∫
∂
D
h
t
′
(
z
)
h
t
(
z
)
d
z
{\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {h_{t}'(z)}{h_{t}(z)}}dz}
φ
{\displaystyle \varphi }
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
בנוסף אנו יודעים כי
φ
{\displaystyle \varphi }
משפט ערך הביניים נובע ש-
φ
{\displaystyle \varphi }
בפרט נובע כי
φ
(
0
)
=
φ
(
1
)
{\displaystyle \varphi (0)=\varphi (1)}
h
{\displaystyle h}
f
{\displaystyle f}
![{\displaystyle t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a5c18739ff04858eecc8fec2f53912c348e0e5)
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
