משתמש:דניאל ב./משפט אפרי

בתורת המספרים, משפט אפרי הוא משפט הקובע כי קבוע אפרי ζ(3) הוא מספר אי-רציונלי. קבוע אפרי הוא הערך שמקבלת פונקציית זטא של רימן בנקודה 3. כלומר:

$\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\ldots =1.2020569\ldots$

את המשפט הוכיח המתמטיקאי הצרפתי רוז'ה אפרי בשנת 1978, ומאז הקבוע קרוי על שמו.

רקע

המתמטיקאי השוויצרי הדגול לאונרד אוילר קנה את תהילתו כאשר פתר בשנת 1735 את בעיית בזל ומצא את הזהות $\zeta (2)\ =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$. למעשה גישתו של אוליר לפתרון הבעיה עבדה באופן כללי לכל ערך של פונקציית זטא במספרים זוגיים והזהות הכללית שאוליר מצא היא:

$\ \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$, כאשר $\ B_{2n}$ הוא מספר ברנולי ה-2n.

ערכים אלו הם כפולות רציונליות של חזקות טבעיות של פאי (שהן תמיד אי-רציונליות, למשל משום שפאי מספר טרנסצנדנטי) ולכן הם תמיד מספרים אי-רציונליים (ואף טרנסצנדנטיים). ערכי הפונקציה במספרים אי-זוגיים לעומת זאת הרבה יותר סבוכים, ולא ידועה דרך לבטא אף אחד מהם בדרך דומה להצגת אוילר של הזוגיים.

במשך מאות שנים התקשו מתמטיקאים בחקירת התכונות של הערכים של פונקציית זטא של רימן בנקודות אי-זוגיות. לא היה ידוע לגבי אף אחד מן הערכים הללו האם הוא אי-רציונלי, על אף שמשוער שכולם כאלו, ואפילו טרנסצנדנטיים. ביוני 1978 השתנתה התמונה כאשר רוז'ה אפרי נשא הרצאה בה התווה דרך להוכחת האי-רציונליות של ζ(3). הפתאומיות המפתיעה שבה נפתרה הבעיה העתיקה יחד עם העובדה שאפרי היה מתמטיקאי אלמוני יחסית בשנות השישים לחייו הביאו לכדי כך שרוב המתמטיקאים האמינו כי ההוכחה שגויה ובוודאי יש טעות בפרטים הטכניים המרובים בה. אולם חודשיים לאחר מכן כאשר נסתיימה העבודה המדוקדקת של בחינת ההוכחה היא נמצאה נכונה.