משתמש:יחס הזהב/טיוטה16

שאלה 10 סעיף ג'

יהיו $a,b\in \mathbb {R}$. נפצל למקרים:

$a\geq 0$ וגם $b\geq 0$:

לפי הגדרה $|a|=a$ וגם $|b|=b$ אז מאריתמטיקה $|a||b|=ab$.

לפי הנחה $a\geq 0$ וגם $b\geq 0$ אז גם $ab\geq 0$ אז לפי הגדרת ערך מוחלט $|ab|=ab$.

אז מטרנזיטיביות השוויון $|a||b|=|ab|$.

$a>0$ וגם $b<0$:

לפי הגדרה $|a|=a$ ו-$|b|=-b$ אז מאריתמטיקה $|a||b|=-ab$.

לפי הנחה $a>0$ ו-$b<0$ אז $ab<0$ אז לפי הגדרת ערך מוחלט $|ab|=-ab$.

אז מטרנזיטיביות השוויון $|a||b|=|ab|$.

$a=0$ וגם $b<0$:

לפי הגדרה $|a|=a=0$ ו-$|b|=-b$ אז מאריתמטיקה $|a||b|=-ab=0$.

לפי הנחה $a=0$ ו-$b<0$ אז $ab=0$ אז לפי הגדרת ערך מוחלט $|ab|=ab=0$.

אז מטרנזיטיביות השוויון $|a||b|=|ab|$.

$a<0$ וגם $b>0$

לפי הגדרה $|a|=-a$ ו-$|b|=b$ אז מאריתמטיקה $|a||b|=-ab$.

לפי הנחה $a<0$ וגם $b>0$ אז $ab<0$ אז לפי הגדרת ערך מוחלט $|ab|=-ab$.

אז מטרנזיטיביות השוויון $|a||b|=|ab|$.

$a<0$ וגם $b=0$

לפי הגדרה $|a|=-a$ ו-$|b|=b=0$ אז מאריתמטיקה $|a||b|=-ab=0$.

לפי הנחה $a<0$ ו-$b=0$ אז $ab=0$ אז לפי הגדרת ערך מוחלט $|ab|=ab=0$.

אז מטרנזיטיביות השוויון $|a||b|=|ab|$.

$a<0$ וגם $b<0$

לפי הגדרה $|a|=-a$ ו-$|b|=-b$ אז מאריתמטיקה $|a||b|=-(-ab)=ab$.

לפי הנחה $a<0$ וגם $b<0$ אז $ab>0$ אז לפי הגדרת ערך מוחלט $|ab|=ab$.

אז מטרנזיטיביות השוויון $|a||b|=|ab|$.

הראנו שלכל $a,b\in \mathbb {R}$ מתקיים $|a||b|=|ab|$.