נוסחאות הכפל המקוצר

נוסחאות הכפל המקוצר הוא שם קיבוצי, השגור בעיקר בהוראת המתמטיקה בבתי ספר תיכוניים, שמציין כמה זהויות מתמטיות המשמשות לפישוט ביטויים אלגבריים.

הוכחת כל הנוסחאות מתבססת על שימוש אינדוקטיבי בחוק הפילוג, חוק הקיבוץ וחוק החילוף ("פתיחת סוגריים וקיבוץ איברים").

הבינום של ניוטון

שתי נוסחאות כפל מקוצר בסיסיות הן:

${\begin{aligned}(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}\\(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}\end{aligned}}$

אלו הם מקרים פרטיים של נוסחת הבינום של ניוטון:

$(a+b)^{n}=\sum _{k\,=\,0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}$

חישוב $(a-b)^{n}$ נעשה באמצעות הצבת $-b$ במקום $b$ בבינום של ניוטון.

משפט המולטינום מאפשר לפתח את הביטוי המקביל למספר כלשהו של מחוברים.

הפרש חזקות

שתי נוסחאות כפל מקוצר בסיסיות נוספות הן:

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ (זהות הפרש ריבועים)

$a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})$ (כאשר $\mp$ הוא הסימן ההפוך מ-$\pm$)

אלו מקרים פרטיים של הזהות הכללית:

$a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1})=(a-b)\sum _{k\,=\,0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}$

זהות המתקבלת מפתיחת סוגריים וצמצום הטור הטלסקופי שמתקבל.

כאשר $n$ מספר אי-זוגי ניתן לקבל זהות מקבילה $a^{n}+b^{n}=a^{n}-(-b)^{n}$, ועל ידי הצבת $-b$ במקום $b$ בזהות הקודמת מתקבל:

$a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots -ab^{n-2}+b^{n-1})=(a+b)\sum _{k\,=\,0}^{n-1}(-1)^{k}a^{n-1-k}b^{k}$

אם נתיר שימוש במספרים מרוכבים ניתן לפתח זהות דומה גם למקרה ש-$n$ זוגי מכיוון ש-$a^{n}+b^{n}=a^{n}-(w_{n}b)^{n}$, כאשר $w_{n}$ הוא שורש מסדר $n$ של $-1$ (למשל: $w_{n}=\exp \left({\frac {\pi }{n}}i\right)$ לפי זהות אוילר).

קישורים חיצוניים

• מחשבוני נוסחאות הכפל המקוצר
• למה משוואה ריבועית? והקשר בינה לנוסחאת הכפל המקוצר, סרטון באתר יוטיוב