נוסחאות ויאטה

באלגברה, נוסחאות ויאטה (על שם המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט) הן נוסחאות המקשרות בין מקדמי פולינומים לבין שורשיהם בשדות סגורים אלגברית כמו שדה המספרים המרוכבים.

עבור פולינום מהצורה $p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$, עם שורשים $x_{1},\ldots ,x_{n}$ (כולל ריבוי), מתקיים:

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{2}x_{n})+(x_{1}x_{3}x_{4}+\cdots +x_{1}x_{3}x_{n})+\cdots +(x_{2}x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n-1}x_{n})+\cdots +x_{n-2}x_{n-1}x_{n}=-{\dfrac {a_{n-3}}{a_{n}}}\\\vdots \\x_{1}\cdots x_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}$

הנוסחה לכל אחד ואחד היא:

$\sum \limits _{1\,\leq \,i_{1}\,<\,\cdots \,<\,i_{k}\,\leq \,n}^{n}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!x_{i_{1}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}$

לדוגמה, מתקיים:

$\sum _{j\,=\,1}^{n}x_{j}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}},\quad \prod \limits _{j\,=\,1}^{n}x_{j}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}$

בפרט, עבור משוואה ממעלה שנייה $p(x)=ax^{2}+bx+c$ מתקיים:

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\ ,\ x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$

מאחר שעבור כל מטריצה, הערכים העצמיים שלה הם שורשי הפולינום האופייני, לפי נוסחאות ויאטה מתקיימים גם הקשרים הבאים:

$\sum _{j\,=\,1}^{n}x_{j}={\rm {tr}}(A),\quad \prod _{j\,=\,1}^{n}x_{j}=\det(A)$

כאשר $A$ היא המטריצה ו-$x_{j}$ הם הערכים העצמיים שלה. זאת כיוון שהמקדם החופשי בפולינום האופייני הוא הדטרמיננטה, המקדם של החזקה המקסימלית הוא 1 והמקדם של החזקה הבאה הוא מינוס העקבה של המטריצה.

קישורים חיצוניים

• נוסחאות ויאטה, באתר MathWorld (באנגלית)