נוצר סופית

באלגברה מופשטת, מבנה אלגברי נוצר סופית אם אפשר לקבל כל איבר שלו מתוך קבוצה סופית של איברים. אופי הפעולות שאותן אפשר להפעיל על קבוצת היוצרים אינו קבוע, ואמור להיות מובן מתוך ההקשר. לכן יש להבדיל בין התכונות נוצר סופית כמודול, נוצר סופית כאידיאל, נוצר סופית כחוג, נוצר סופית כשדה, וכן הלאה. בכל המקרים האלה, המבנה נוצר סופית אם יש בו קבוצת איברים סופית שהמבנה הוא תת-המבנה הקטן ביותר המכיל את כולם.

מרחב וקטורי נוצר סופית אינו אלא מרחב וקטורי בעל ממד סופי. באופן כללי יותר, אומרים שמודול $M$ נוצר סופית מעל חוג $R$, אם קיימת קבוצת איברים $x_{1},\dots ,x_{n}\in M$ כך שכל איבר ב-$M$ הוא צירוף מהצורה $a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}$ עבור מקדמים מתאימים $a_{1},\dots ,a_{n}\in R$. מודול כזה נקרא גם מודול סופי. נוסח זה מתאים גם עבור אידיאל שמאלי.

חוג נוצר סופית נקרא גם חוג אפיני. בהחלט ייתכן שחוג שאינו נוצר סופית ככזה, יהיה נוצר סופית כשדה; או שמודול שאינו נוצר סופית ככזה, יהיה נוצר סופית כחוג. לדוגמה, שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה אחד, $F(x)$ (מעל שדה $F$) נוצר על ידי איבר אחד כשדה, אבל אינו נוצר סופית כחוג. (אחד המשפטים היסודיים באלגברה קומוטטיבית קובע שחוג אפיני אינו יכול להיות שדה אלא במקרה הטריוויאלי). באותו אופן, חוג הפולינומים במשתנה אחד $F[x]$ נוצר כמובן סופית כחוג, אבל הוא בעל מימד אינסופי מעל $F$, ואינו סופי כמודול.

כאשר יש לאובייקט האלגברי מבנה נוסף, כגון טופולוגיה, אפשר לכלול את המבנה הזה בהגדרה. לדוגמה, אומרים שחבורה טופולוגית היא נוצרת סופית (כחבורה טופולוגית) אם יש בה קבוצה סופית שאינה מוכלת באף תת-חבורה סגורה; כאן הפעולות המותרות הן פעולות החבורה, ובנוסף להן פעולת הגבול הטופולוגי. לדוגמה, חוג השלמים ה-p-אדיים נוצר סופית כחבורה טופולוגית: אפשר ליצור אותו מאיבר אחד, ולכן החבורה הזו נקראת גם "חבורת-p הטופולוגית הציקלית".

המבנה של אובייקטים נוצרים סופית עשוי להיות מסובך ביותר, ובדרך כלל תכונה זו אינה נשמרת במעבר לתת-אובייקטים. למשל, יש דוגמה לחבורה פתירה מוצגת סופית שהמרכז שלה אינו נוצר סופית. (חבורה שבה חיתוך של שתי תת-חבורות נוצרות סופית גם הוא נוצר סופית מקיימת את תכונת Howson). לעומת זאת, תנאי השרשרת העולה נשמר במעבר לתת-אובייקטים, והוא מהווה תחליף מבני ראוי לנוצרות סופית. לפעמים לא ברור האם אובייקט טבעי הוא בעל קבוצת יוצרים סופית או לא. למשל, חבורת המטריצות $\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} )$ נוצרת סופית, אבל $\operatorname {GL} _{2}(F[t])$ אינה נוצרת סופית אפילו אם $F$ שדה סופי; תוצאות בתורת K האלגברית מראות ש-$\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{d}])$ נוצרת סופית אם $n$ גדול מספיק, אבל לא תמיד ידוע הערך הראשון שבו התופעה מתרחשת.

לעיתים קרובות אפשר לשכן כל מבנה נוצר-מנייתית במבנה נוצר סופית. היגמן-ניומן-ניומן (1949) הראו שאפשר לשכן כל חבורה נוצרת מנייתית בחבורה נוצרת סופית. מלצב (1952) הראה שאפשר לשכן כל אלגברה אסוציאטיבית מממד בן-מניה באלגברה אסוציאטיבית נוצרת סופית. שירשוב (1958) הראה שאפשר לשכן כל אלגברת לי מממד בן מניה באלגברת לי נוצרת סופית.

יש מושגים חזקים יותר מאשר נוצרות סופית. חבורה היא בעלת יצירה חסומה (bounded generation) אם קיימים בה איברים $g_{1},\dots ,g_{d}$ כך שכל איבר בחבורה הוא מהצורה $g_{1}^{i_{1}}\cdots g_{d}^{i_{d}}$. חבורה בעלת יצירה חסומה היא נוצרת סופית. כל חבורה נילפוטנטית נוצרת סופית, ואפילו כל חבורה פולי-ציקלית נוצרת סופית, היא בעלת יצירה חסומה (אבל חבורה פתירה נוצרת סופית אינה בהכרח כזו). החבורה $\operatorname {SL} _{n}(\mathbb {Z} )$ (וכמוה SL_n מעל חוג שלמים של כל שדה מספרים) היא בעלת יצירה חסומה כאשר n>=3 (אבל לא עבור n=2), Carter-Keller.