סגור סדרתי

בטופולוגיה, סְגור סדרתי (מאנגלית: sequential closure) של תת-קבוצה במרחב טופולוגי הוא אוסף כל נקודות הגבול שלה. במרחבים מטריים הגדרה זו שקולה להגדרת הסגור הרגיל. מרחב שבו הסגור הסדרתי מתלכד עם הסגור הרגיל נקרא מרחב פרשה-אוריסון.

הגדרה

יהי $X$ מרחב טופולוגי, ותהי $A\subseteq X$. הסגור הסדרתי של $A$ מוגדר להיות: $scl(A)=\{lim({a}_{n})|\{{a}_{n}\}\subseteq A\}$. קבוצה היא סגורה סדרתית אם היא שווה לסגור הסדרתי שלה. בניגוד למשתמע מהשם, סגור סדרתי של קבוצה אינו תמיד סגור סדרתית.

דוגמאות

• עבור $(0,1]\subseteq \mathbb {R}$, מתקיים $scl(0,1]=[0,1]$.
• כל כדור סגור שווה לסגור הסדרתי שלו.
• תמיד מתקיים $A\subseteq scl(A)\subseteq cl(A)$, כאשר $cl$ הוא הסגור הטופולוגי.
• כל תת-קבוצה של מרחב דיסקרטי היא סגורה, ובפרט הסגור הסדרתי שלה שווה לה.
• $scl(A\cup B)=scl(A)\cup scl(B)$ לכל שתי תתי קבוצות, ולכן גם לכל מספר סופי של תתי קבוצות.
• במרחב מטרי, תת-קבוצה היא סגורה אם ורק אם היא שווה לסגור הסדרתי שלה.
• במרחב מטרי, אם תת-קבוצה היא שלמה, אזי היא גם סגורה סדרתית. ההפך נכון כאשר המרחב עצמו שלם.

ראו גם

• סגור (טופולוגיה)
• נקודת גבול
• מרחב פרשה-אוריסון