התפלגות בוז-איינשטיין

התפלגות בוז-איינשטיין (או סטטיסטיקת בוז-איינשטיין) היא פונקציית התפלגות סטטיסטית שבעזרתה ניתן לתאר תכונות של בוזונים (חלקיקים בעלי ספין שלם) זהים חסרי אינטראקציה. ההתפלגות קרויה על שם הפיזיקאי ההודי סאטינדרה נאת בוז, שפיתח אותה ב-1920 עבור פוטונים, ועל שם אלברט איינשטיין, שהכליל אותה עבור אטומים ב-1924.

באופן מפורש, האכלוס הממוצע של רמת אנרגיה מסוימת במערכת של בוזונים זהים הנמצאת בשיווי משקל תרמודינמי הוא

$n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/k_{B}T}-1}}$.

כאן

• $\ n_{i}$ הוא המספר הממוצע של חלקיקים שימצאו במצב ה-$\ {i}$.
• $\ g_{i}$ היא דרגת הניוון של המצב ה-$\ {i}$.
• $\ \epsilon _{i}$ היא האנרגיה של המצב ה-$\ {i}$.
• $\ \mu$ הוא הפוטנציאל הכימי.
• $\ T$ היא הטמפרטורה.
• $\ k_{B}$ הוא קבוע בולצמן.

הבוזונים הם חלקיקים בעלי פונקציית גל סימטרית. בניגוד לפרמיונים, המצייתים לעקרון פאולי ולהתפלגות פרמי-דיראק, הבוזונים יכולים להמצא באותו מקום ובאותו מצב שבו נמצאים חלקיקים זהים נוספים.

בשימוש בהתפלגות בוז-איינשטיין, ותוך ידיעת צפיפות המצבים $\ g(\epsilon )$, ניתן לחשב תכונות תרמודינמיות שונות של המערכת. לדוגמה, האנרגיה הממוצעת נתונה על ידי:

$$\ U=\int \epsilon g(\epsilon )n_{BE}(\epsilon )d\epsilon$$

פיתוח

את התפלגות בוז-איינשטיין ניתן לקבל בקלות על ידי שימוש בצבר הגרנד קנוני. במסגרת צבר זה, ההסתברות למציאת מערכת במצב i עם $\ N_{i}$ חלקיקים ואנרגיה כוללת $\ E_{i}$ נתונה על ידי $P_{i}={\frac {1}{\mathcal {Z}}}e^{-{\frac {(E_{i}-\mu N_{i})}{k_{B}T}}}$, כאשר ${\mathcal {Z}}=\sum _{i}e^{-{\frac {(E_{i}-\mu N_{i})}{k_{B}T}}}$ היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית.

ניקח כמערכת רמת אנרגיה (חד-חלקיקית) מסוימת $\epsilon$. אם אין אינטראקציה בין החלקיקים $\ E_{i}=n\epsilon$ כאשר $\ n=N_{i}$ הוא מספר החלקיקים הנמצאים ברמה זו. כאשר מדובר בבוזונים אין הגבלה על ערכי n כלומר $\ n=0,1,\dots$. פונקציית החלוקה במקרה זה תהיה ${\mathcal {Z}}=\sum _{n}e^{-\beta (\epsilon -\mu )n}={\frac {1}{1-e^{-\beta (\epsilon -\mu )}}}$. מכאן ניתן לקבל את מספר החלקיקים הממוצע על ידי שימוש ב-$\langle n\rangle =-{\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}$ כאשר $\Omega =-k_{B}T\ln {\mathcal {Z}}$.

ראו גם

• עיבוי בוז-איינשטיין
• התפלגות פרמי-דיראק

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התפלגות בוז-איינשטיין בוויקישיתוף

• התפלגות בוז-איינשטיין, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.