עקום פרמה

במתמטיקה, ובעיקר בגאומטריה אלגברית ובגאומטריה אריתמטית, עקום פרמה הוא העקום האלגברי המרוכב, המוגדר בקואורדינטות ההומוגניות $\ X:Y:Z$ של המישור הפרויקטיבי, לפי משוואת פרמה $\ X^{n}+Y^{n}=Z^{n}$. במונחי המישור האפיני, מתקבל העקום $\ x^{n}+y^{n}=1$.

את משפט פרמה, הקובע שלמשוואה $\ a^{n}+b^{n}=c^{n}$ אין פתרון במספרים שלמים לכל $\ n>2$ (למעט כאשר אחד המשתנים שווה לאפס), אפשר לנסח גם כטענה שלעקום פרמה אין נקודה רציונלית מעל המספרים הרציונליים, למעט הנקודות הטריוויאליות.

עקום פרמה הוא עקום חלק. מכיוון שעל פי משפט הנורמליזציה, הנקודות של כל עקום אלגברי פרויקטיבי חלק מהוות משטח רימן קומפקטי, הרי שאם מוגדר מעל שדה המספרים המרוכבים, הנקודות של עקום פרמה אף הן מהוות משטח רימן קומפקטי. ניתן להוכיח כי הגנוס של עקום אלגברי פרויקטיבי חלק ממעלה n הוא $\,{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}$, ולפיכך זהו הגנוס של עקום פרמה. במקרה n=2 הגנוס הוא 0, והעקום ניתן לפרמטריזציה מלאה סביב כל אחת מן הנקודות הרציונליות שלו. במקרה n=3, הגנוס המתקבל הוא 1. עקום אלגברי פרויקטיבי חלק עם גנוס 1 נקרא עקום אליפטי.

מקורות

• Benedict H. Gross and David E. Rohrlich., 1978. “Some Results on the Mordell-Weil Group of the Jacobian of the Fermat Curve,” Inventiones Mathematicae, volume 44: pp. 201-224: