עשרימון משוכלל

עֶשְׂרִימוֹן משוכלל (נקרא גם אִיקוֹסָהֶדְרוֹן רגולרי; מאנגלית: Icosahedron), הוא פאון משוכלל בעל עשרים פאות, אשר כל אחת מהן היא משולש שווה-צלעות, כלומר, משולש שכל צלעותיו שוות זו לזו וכל זוויותיו שוות זו לזו. לאיקוסהדרון 12 קודקודים, 30 מקצועות ו-20 פאות. העשרימון הוא אחד מחמשת הפאונים המשוכללים. בדרך כלל נקרא סתם עשרימון או איקוסהדרון.

עשרימון

הרכבת עשרימון ממשולשים

מודל תלת־ממדי של עשרימון משוכלל

קוביית משחק בעלת 20 פאות

עשרימון אוריגמי מסתובב

שטח הפנים $\ A$והנפח $\ V$של עשרימון שצלעו באורך $\ a$ הם $A=5{\sqrt {3}}a^{2}$ ו-$V={\begin{matrix}{5 \over 12}\end{matrix}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}$, בהתאמה.

הפאון הדואלי לעשרימון המשוכלל, כלומר, הפאון שמתקבל אם מחברים את המרכז של כל פאה אל מרכזי הפאות הסמוכות לה, הוא התריסרון המשוכלל.

חבורת האוטומורפיזמים של העשרימון המשוכלל איזומורפית לחבורת התמורות הזוגיות $\ A_{5}$, הקרויה בשל כך גם "חבורת העשרימון".

זוהי החבורה הפשוטה הקטנה ביותר, והיא אחת מחבורות המשולש הסופיות, עם ההצגה $\ \langle x,y,z|x^{2}=y^{3}=z^{5}=xyz=1\rangle$. את היוצרים $x,y,z$ של חבורת העשרימון ניתן לזהות עם פעולות סיבוב מסוימות: x מייצג סיבוב בזווית 180 מעלות ביחס לציר העובר דרך אמצע צלע מסוימת, y מייצג סיבוב בזווית 120 מעלות ביחס לציר העובר דרך מרכז פאה מסוימת, ו-z מייצג סיבוב בזווית 72 מעלות ביחס לציר העובר דרך קודקוד מסוים. כדי לקיים את שלושת הקשרים הראשונים בהצגה של חבורת העשרימון מספיק לבחור פאה, צלע וקודקוד באופן שרירותי, אולם הקשר הרביעי $xyz=1$ מתקיים רק אם הקודקוד (אליו מתייחס היוצר z) הוא חלק מהצלע (אליה מתייחס היוצר x) והצלע היא חלק מהפאה (אליה מתייחס היוצר y), וחישוב מתאים בעזרת קווטרניונים מאשר זאת.

צורת העשרימון המשוכלל נמצאת גם בטבע. למשל, לרבים מהנגיפים יש קפסיד (מבנה המורכב מחלבונים המקיף את המטען הגנטי הנגיפי) בצורה זו. קפסיד כזה בנוי מעשרים או יותר תת-יחידות זהות, המיוצרות כל אחת בנפרד, והוא מאפשר מזעור פי עשרים של הגן המקודד לחלבון הקפסיד. היחידות היוצרות את הפאות הן בצורת משושה, בעוד הקודקודים בנויים מחלבונים מחומשים (שהרי כל קודקוד מאגד 5 משולשים).

העשרימון ידוע בקהילת משחקי התפקידים כ-ק20 בעברית או D20 באנגלית - קובייה בת 20 פאות. זוהי אחת הקוביות השימושיות במשחקי תפקידים דוגמת מבוכים ודרקונים (היא משמשת בעיקר במצבי קרב לבדיקה האם הדמות הצליחה לפגוע באויבה), וישנן אף שיטות משחק המשתמשות רק בקובייה זו, הנקראות "שיטות ק20".

ראו גם

• כיפה גאודזית

קישורים חיצוניים

• עשרימון משוכלל, באתר MathWorld (באנגלית)