פונקציות זוגיות ואי-זוגיות

פונקציות זוגיות ואי-זוגיות הן פונקציות ממשיות בעלות סימטריה מוגדרת ביחס לישר $\ x=0$ (כלומר לציר ה-$Y$).

מקור השם

המונח "פונקציה זוגית" נטבע על ידי לאונרד אוילר, ומופיע לראשונה בספרו שיצא ב-1727, והשימוש הראשון הידוע במונח "פונקציה אי-זוגית" הוא בספר של תומאס לייבורן שיצא ב-1814. הסברה המקובלת היא שהכינויים "זוגי" ו"אי-זוגי" נובעים מהעובדה שהפונקציה $f(x)=x^{n}$ היא פונקציה זוגית כאשר $n$ זוגי ופונקציה אי-זוגית כאשר $n$ אי-זוגי.

פונקציה זוגית

הגדרה: ערכה זהה עבור כל מספר בתחום ההגדרה ועבור המספר הנגדי לו, כלומר $\ f(x)=f(-x)$.

סימטריה: כל פונקציה זוגית היא סימטרית ביחס לציר ה-$Y$.

דוגמאות של פונקציות זוגיות:

• 
  $\ f(x)=a$
  פונקציה קבועה
• 
  $\ f(x)=x^{2}$
  פרבולה בעלת קודקוד בנקודה (0,0)
• 
  $\ f(x)=\cos(x)$
  קוסינוס
• 
  $\ f(x)=|x|$
  ערך מוחלט

פונקציה אי-זוגית

הגדרה: ערכה עבור כל מספר בתחום ההגדרה הוא המספר הנגדי של ערכה עבור המספר הנגדי לו, כלומר $\ f(-x)=-f(x)$.

סימטריה: כל פונקציה אי-זוגית היא אנטי-סימטרית ביחס לציר ה-$X$ (כלומר יש לה סימטריית סיבוב של $180^{\circ }$ סביב לראשית).

דוגמאות של פונקציות אי-זוגיות:

• 
  $\ f(x)=x$
  פונקציה ליניארית שעוברת דרך הנקודה (0,0)
• 
  $\ f(x)=x^{3}$
  חזקה ממעלה שלישית עם נקודת פיתול בנקודה (0,0)
• 
  $\ f(x)=\sin(x)$
  סינוס
• 
  $f(x)={1 \over x}$
  מספר הופכי

פונקציה כללית

ניתן לייצג כל פונקציה באמצעות סכום של פונקציה זוגית ואי זוגית: $\ f(x)=f_{\text{even}}(x)+f_{\text{odd}}(x)$

וזאת כאשר: $f_{\text{even}}(x)={f(x)+f(-x) \over 2}$ ו $f_{\text{odd}}(x)={f(x)-f(-x) \over 2}$

יצוג זה הוא יחיד. מכאן נובע שמרחב הפונקציות כולן מהווה סכום ישר של מרחבי הפונקציות הזוגיות והאי-זוגיות (כשחיבור וכפל בסקלר מוגדרים נקודתית).

לפעמים, עבור פונקציות מרוכבות, הפונקציה הזוגיות והאי זוגית מיוצגים בהתאמה באופן הבא:
$f_{\text{even}}(x)={f(x)+f^{*}(-x) \over 2}$ ו-$f_{\text{odd}}(x)={f(x)-f^{*}(-x) \over 2}$
או:
$f_{\text{even}}(x)=f_{\text{even}}^{*}(-x)$ ו-$f_{\text{odd}}(x)=-f_{\text{odd}}^{*}(-x)$

בצורת כתיבה זאת ניתן להוכיח בקלות רבה תכונות של התמרת פורייה.

תכונות

• סכום פונקציות:
  • סכום של פונקציות זוגיות הוא פונקציה זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות זוגיות ובפתוח של פונקציה זוגית מ-$L^{1}$ לטור פורייה יופיעו רק איברי הקוסינוס).
  • סכום של פונקציות אי-זוגיות הוא פונקציה אי-זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית אי-זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות אי-זוגיות ובפתוח של פונקציה אי-זוגית מ-$L^{1}$ לטור פורייה יופיעו רק איברי הסינוס).
• מכפלת פונקציות:
  • מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
  • מכפלה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
  • מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.
• חלוקת פונקציות:
  • מנה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
  • מנה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
  • מנה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.

באופן כללי כל מכפלה הכוללת פונקציות זוגיות ולא זוגיות בלבד (הפונקציה $x^{-1}$ היא לא זוגית), הפונקציות הזוגיות משמרות את הזוגיות, והזוגיות תלויה האם מספר הפונקציות האי זוגיות זוגי או לא זוגי.

• הרכבת פונקציות:
  • הרכבה הכוללת פונקציות זוגיות ולא כוללת פונקציות כלליות היא פונקציה זוגית.
  • הרכבה של פונקציות אי-זוגיות היא פונקציה אי-זוגית.
  • הרכבה של כל פונקציה עם פונקציה זוגית היא זוגית, אך הרכבה של פונקציה זוגית על פונקציה כללית אינה בהכרח זוגית.
• גזירת פונקציה:
  • נגזרת של פונקציה זוגית היא פונקציה אי-זוגית (אם אינה אפס).
  • נגזרת של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
  • נגזרת של פונקציה כללית היא פונקציה כללית או זוגית.

הוכחה:הגדרת הנגזרת בנקודה $x_{0}$, היא הגבול $\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=f'(x_{0})$.

ניתן להגדיר את $\Delta x$ כ-$x-{x_{0}}$ ואת $\Delta y$ כ-$f(x)-f(x_{0})$

כעת נציב בגבול: $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$. נראה שאם נחליף את הסימן של $x$ ושל $x_{0}$ נקבל לפונקציה זוגית, $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{(-x)-(-x_{0})}}$ כלומר שסימן הגבול התחלף. ולפונקציה אי זוגית נקבל, $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {(-f(x))-(-f(x_{0}))}{(-x)-(-x_{0})}}$ כלומר שסימן הגבול נשמר.

• אינטגרל של פונקציה:
  • כל פונקציה קדומה של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
  • לפונקציה זוגית יש פונקציה קדומה אחת שהיא אי-זוגית - הפונקציה שבה המקדם החופשי שווה ל-0. שאר הפונקציות הקדומות הן כלליות.
  • האינטגרל המסוים של פונקציה אי-זוגית בתחום סימטרי שווה לאפס.
  • האינטגרל המסוים של פונקציה זוגית בתחום סימטרי שווה לפעמיים האינטגרל בחצי התחום הסימטרי.
• תכונת האפס: כל פונקציה אי זוגית המוגדרת ורציפה בנקודה $x=0$ חייבת לקיים $\ f(0)=0$.