פונקציית גמא היא פונקציה מרוכבת מֶרוֹמורפית , המרחיבה את מושג ה"עצרת " לכל המישור המרוכב : לכל מספר טבעי
n
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle \ n=1,2,\dots }
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle \ \Gamma (n)=(n-1)!}
הפונקציה הוגדרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר באמצע המאה ה-18 , אך הסימון של הפונקציה באות
Γ
{\displaystyle \ \Gamma }
לז'נדר . גאוס הציע גרסה מעט שונה של פונקציית גמא,
Π
(
z
)
=
Γ
(
z
+
1
)
{\displaystyle \ \Pi (z)=\Gamma (z+1)}
צרפת , ובעקבות זאת גם בשאר העולם.
הפונקציה מוגדרת במחצית הימנית של המישור המרוכב באמצעות האינטגרל
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,\mathrm {d} t}
לפונקציית גמא קטבים (פשוטים) בנקודות
z
=
0
,
−
1
,
−
2
,
…
{\displaystyle \,z=0,-1,-2,\dots }
משוואה הפונקציונלית
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
{\displaystyle \ \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}
פונקציית גמא מוגדרת על ידי האינטגרל הבא:
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,\mathrm {d} t}
וזאת לכל
z
∈
C
{\displaystyle \ z\in \mathbb {C} }
R
e
(
z
)
{\displaystyle \,Re(z)}
גבול
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
∞
1
⋅
2
⋯
n
z
⋅
(
z
+
1
)
⋯
(
z
+
n
−
1
)
(
n
+
1
)
z
−
1
{\displaystyle \ \Gamma (z)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1\cdot 2\cdots n}{z\cdot (z+1)\cdots (z+n-1)}}(n+1)^{z-1}}
z
≠
0
,
−
1
,
−
2
,
…
{\displaystyle \ z\neq 0,-1,-2,\dots }
המשכה אנליטית של האינטגרל לפונקציה מרומורפית .
עריכה
גרף של פונקציית גמא על הישר הממשי ניתן להראות שעבור מספרים טבעיים , פונקציית גמא שווה (בהזזת 1) לפונקציית העצרת .
אם
n
{\displaystyle \,n}
Γ
(
n
)
=
∫
0
∞
t
n
−
1
e
−
t
d
t
=
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle \Gamma (n)=\int _{0}^{\infty }t^{n-1}\,e^{-t}\,\mathrm {d} t=(n-1)!}
אינטגרציה בחלקים , אפשר להראות כי
Γ
(
n
+
1
)
=
n
Γ
(
n
)
{\displaystyle \,\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}
Γ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \,\Gamma (1)=1}
Γ
(
n
+
1
)
=
n
Γ
(
n
)
=
…
=
n
!
Γ
(
1
)
=
n
!
{\displaystyle \,\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=\ldots =n!\Gamma (1)=n!\,}
מספר טבעי
n
{\displaystyle \,n}
זהות חשובה אחת לפונקציית גמא היא נוסחת השיקוף :
Γ
(
1
−
z
)
Γ
(
z
)
=
π
sin
π
z
{\displaystyle \ \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin \pi z}}
מכאן נובע כי
Γ
(
1
2
)
2
=
π
sin
π
/
2
=
π
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\pi \over \sin \pi /2}=\pi }
Γ
(
1
2
)
=
π
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}
זהות חשובה אחרת היא נוסחת הכפל של גאוס :
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
k
)
Γ
(
z
+
2
k
)
⋯
Γ
(
z
+
k
−
1
k
)
=
(
2
π
)
(
k
−
1
)
/
2
k
1
/
2
−
k
z
Γ
(
k
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{(k-1)/2}\;k^{1/2-kz}\;\Gamma (kz)\,\!}
גרף של הערך המוחלט של פונקציית גמא במישור המרוכב. לפונקציית גמא יש קוטב ב
z
=
−
n
{\displaystyle \,z=-n}
n
{\displaystyle \,n}
Res
(
Γ
,
−
n
)
=
(
−
1
)
n
n
!
.
{\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}
המכפלה האינסופית הבאה, כפי שהראה ויירשטראס , נכונה לכל
z
{\displaystyle \,z}
Γ
(
z
)
=
e
−
γ
z
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
−
1
e
z
/
n
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}}
כאשר
γ
{\displaystyle \,\gamma }
קבוע אוילר-מסקרוני ".
משפט בוהר-מולרופ משפט בוהר-מולרופ הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא על פי המשוואה הפונקציונלית שהיא מקיימת. המשפט קרוי של-שמם של המתמטיקאים הדנים הארלד בוהר ויוהאן מולרופ שהוכיחו אותו.
משפט : פונקציית גמא הממשית, המוגדרת לכל
x
>
0
{\displaystyle \,x>0}
Γ
(
x
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t}
f
{\displaystyle \,f}
(
0
,
∞
)
{\displaystyle (0,\infty )}
f
(
1
)
=
1
{\displaystyle \,f(1)=1}
f
(
x
+
1
)
=
x
f
(
x
)
for
x
>
0
{\displaystyle f(x+1)=xf(x)\ {\mbox{for}}\ x>0}
f
{\displaystyle \,f}
פונקציה לוג-קמורה אחת ההוכחות לנוסחת סטירלינג משתמשת במשפט זה. במסגרת ההוכחה בונים פונקציה המקיימת את שלושת התנאים במשפט בוהר-מולרפ, ולכן פונקציה זו היא בהכרח פונקציית גמא.
נוסחת סטירלינג השוואה בין גמא מוזז (קו כחול) לעצרת (נקודות כחולות) ואומדן סטירלינג (קו סגול) ניתן לאמוד את הערכים הממשיים והמרוכבים של פונקציית גמא בעזרת אומדן לנקזוס או אומדן סטירלינג :
Γ
(
z
)
∼
2
π
z
z
−
1
/
2
e
−
z
,
|
arg
(
z
)
|
<
π
{\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {2\pi }}z^{z-1/2}e^{-z},\quad \left|\arg(z)\right|<\pi }
אומדן זה מדויק בכך שהיחס בין האומדן לערך האמיתי שואף ל-1 כש
|
z
|
{\displaystyle |z|}
ערך מורחב – משפט בוהר-מולרופ
