פונקציית הסתברות

בתורת ההסתברות, פונקציית הסתברות היא פונקציה המחזירה את ההסתברות שערכו של משתנה מקרי בדיד יהיה שווה בדיוק לערך כלשהו. בשונה מפונקציית הצפיפות, ההסתברות למאורע כלשהו מתקבלת ישירות על ידי הצבה בפונקציה, ולא באמצעות אינטגרציה שלה.

פונקציית ההסתברות הבדידה של קוביית משחק הוגנת. לכל הפאות בקובייה סיכוי שווה להתקבל בעת הטלתה

הגדרה מתמטית

יהי $\ X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ משתנה מקרי בדיד המוגדר על מרחב מדגם $\ \Omega$. פונקציית ההסתברות $\ f_{X}:\mathbb {R} \rightarrow [0,1]$ מוגדרת על ידי $\,f_{X}(x)=\Pr(X=x)=\Pr(\{\omega \in \Omega :X(\omega )=x\})$. על-פי ההגדרה, $\ f_{X}$ מוגדרת עבור כל המספרים הממשיים, ומחזירה את הערך 0 בערכים ש-$\ X$ אינו יכול לקבל.

פונקציית ההסתברות מקיימת את שלוש האקסיומות הבאות:

1. הסתברותו של כל מאורע במרחב המדגם גדולה או שווה לאפס $\forall A\in \Omega P(A)\geq 0$
2. סכום ההסתברויות של כל המאורעות במרחב המדגם שווה 1 $\Sigma P(\omega _{i})=P(\Omega )=1$
3. סכום ההסתברויות של שני מאורעות זרים שווה להסתברות של איחוד מאורעות אלו, קרי אם $A,B\in \Omega$ ומתקיים $P(A\cap B)=0$ אז $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

דוגמאות

ערכים מרכזיים: התפלגות ברנולי, התפלגות בינומית, והתפלגות גאומטרית

התפלגות בדידה

ישנן שלוש התפלגויות בדידות מרכזיות: התפלגות ברנולי, ההתפלגות בינומית, וההתפלגות הגאומטרית.

• בהתפלגות ברנולי $X\sim \mathrm {b} (p)$ נשתמש כדי לתאר ניסוי בעל שתי תוצאות אפשריות בלבד. נהוג לכנות את התוצאות 1 ו-0, או הצלחה וכישלון, כאשר ההסתברות להצלחה נתונה לפי p. פונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג ברנולי נתונה על פי הנוסחה הבאה:$$Pr(X=k)={\begin{cases}p,&k=1{\text{ םא}}\\1-p,&k=0{\text{ םא}}\end{cases}}$$אחת מהופעותיה הנפוצות של התפלגות ברנולי היא בעת הטלת מטבע. נניח כי $S$ הוא מרחב המדגם המייצג את כל התוצאות האפשריות של הטלת בודדת. נגדיר על $S$ משתנה מקרי $X$ הקובע את תוצאת הטלת המטבע כך שאם המטבע נחת על עץ ערכו יהיה 1 ואם נחת על פלי ערכו יהיה 0. ידוע כיההסתברות שהמטבע ינחת על עץ היא ${\frac {1}{2}}$. על פי הנוסחה הנתונה לעיל ובהינתן $p={\frac {1}{2}}$ ההסתברות להצלחה, נוכל לחשב את ההסתברות לכישלון:$1-p=1-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$. בסך הכל נקבל את פונקציית ההסתברות הבאה$$Pr(X=k)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&k=0,\\{\frac {1}{2}},&k=1,\\0,&k\notin \{0,1\}.\end{cases}}$$
• בהתפלגות הבינומית $X\sim \mathrm {Bin} (n,p)$ נשתמש כדי לתאר סדרה בת $n$ ניסויי ברנולי בלתי תלויים כאשר לכל אחד מהם הסתברות הצלחה $p$. פונקציית ההסתברות משתנה מקרי המתפלג בינומית נתונה על פי הנוסחה הבאה:$$\Pr \left(X=k\right)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}$$נרחיב את הדוגמה הנוגעת בהטלת מטבע כך שהפעם נטיל 7 פעמים מטבע קסם המאופיין בכך שההסתברות שייפול על עץ היא 0.6. במקום להציג את תוצאות הניסוי באמצעות שבעה משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים ברנולי: $Y_{1},\dots ,Y_{7}\sim \mathrm {b} (0.6)$, נוכל לאגד את הניסויים תוך הגדרת משתנה מקרי המתפלג בינומית באופן הבא$X\sim \mathrm {Bin} (7,0.6)$. נציב את הפרמטרים של $X$ בנוסחת פונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג בינומית שלהלן המחזירה את ההסתברות ש- k הטלות של מטבע הקסם מתוך 7 ייפלו על עץ:$$\Pr \left(X=k\right)={\binom {7}{k}}0.6^{k}(1-0.6)^{7-k}={\binom {7}{k}}0.6^{k}(0.4)^{7-k}$$כעת נוכל לחשב את ההסתברות לכך שארבעה מתוך שבעת המטבעות ייפלו על עץ ביתר קלות:$Pr(X=4)={\binom {7}{4}}\cdot 0.6^{4}\cdot (1-0.6)^{7-4}={\binom {7}{4}}\cdot 0.6^{4}\cdot (0.4)^{3}=0.290304$
• בהתפלגות הגאומטרית $X\sim \mathrm {G} (p)$ נשתמש כדי לתאר את כמות הפעמים שנצטרך לחזור על ניסוי בטרם תוצאה מסוימת תתקבל, כאשר ההסתברות לקבלת התוצאה המבוקשת היא $p$. פונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג גאומטרית היא:$$Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}\cdot p$$נוכל להשתמש במשתנה מקרי המתפלג גאומטרית בכדי לתאר את תוצאות הניסוי הבא: נטיל מטבע רגיל עד לקבלת עץ בפעם הראשונה ונמנה את כמות ההטלות שנדרשו להשלמת הניסוי. לשם כך נגדיר משתנה מקרי $X\sim \mathrm {G} \left({\frac {1}{2}}\right)$ נציב את ההסתברות $p={\frac {1}{2}}$ לקבלת עץ בנוסחה לפונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג גאומטרית ונקבל: $Pr(X=k)=(1-{\frac {1}{2}})^{k-1}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2^{k}}}$. כעת נוכל לחשב ביתר קלות את ההסתברות שיידרשו $1,2,\dots$ הטלות בכדי לקבל עץ בפעם הראשונה. למשל ההסתברות שהמטבע ייפול על עץ בפעם הראשונה לאחר 5 הטלות היא: $Pr(X=5)={\frac {1}{2^{5}}}={\frac {1}{32}}$.

התפלגות רציפה

• בהתפלגות אחידה רציפה $X\sim \mathrm {U} (a,b)$ נשתמש כדי לתאר ניסוי שבו כל תוצאה מתקבלת באותה ההסתברות, כאשר טווח הערכים האפשרי נתון על ידי התחום $\left[a,b\right]$. פונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג בהתפלגות אחידה רציפה נתונה על פי הנוסחה הבאה:$$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&a\leq x\leq b\\0&{\text{תרחא}}\end{cases}}$$נבחין בסקלר $c$ שהתווסף אל נוסחת הפונקציה. ייעודו הוא לוודא כי הסכום של כלל ההסתברויות שהפונקציה מפיקה הוא $1$ בתהליך המכונה נירמול. נוכל להשתמש במשתנה מקרי בעל התפלגות רציפה בכדי לתאר את הניסוי הבא: כדור מתגלגל לאורכו של קרש ועוצר באופן אקראי בנקודה מסוימת בקטע $\left[0,5\right]$. נרצה לחשב את ההסתברות שעצר בנקודה $x=4$. לשם כך נציב את הפרמטרים הנתונים בניסוי בנוסחה לקבלת פונקציית ההסתברות של משתנה מקרי בעל התפלגות אחידה רציפה $f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{5}}&0\leq x\leq 5\\0&{\text{תרחא}}\end{cases}}$ ואז נציב $x=4$ בפונקציה זו כדי לקבל את ההסתברות המבוקשת: $f(4)={\frac {1}{5}}$.
• ההתפלגות האקספוננציאלית $X\sim \mathrm {E} (\lambda )$ מהווה מעין הרחבה של ההתפלגות הגאומטרית באופן המאפשר את הרחבת כמות הניסויים ממספר טבעי למספר ממשי. פונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג אקספוננציאלית נתונה על פי הנוסחה הבאה: $$f(x;\lambda )={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$$דוגמה לשימוש במשתנה מקרי המתפלג אקספוננציאלית היא מדידת הזמן החולף בין התרחשות של אירועים נדירים לרבות מדידת זמן החיים של מכשיר חשמלי.